Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2020
Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.
a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber?
b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?
c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?
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Resolução comentada
a) Cada jogador fica com 8 das 16 peças, e a ordem não importa. O número de coleções é uma combinação:
12 870 coleções.
b) Há 4 peças amarelas no total. Como os dois jogadores têm 8 peças cada, o outro jogador recebe as amarelas que sobram. Quantidades iguais significam 2 amarelas para cada um.
Para o jogador 1, o número de coleções favoráveis é:
- escolher 2 das 4 amarelas: \binom{4}{2}=6;
- escolher 6 das 12 peças não amarelas: \binom{12}{6}=924.
Como o total é \binom{16}{8}=12\,870:
P=\dfrac{28}{65}.
c) Há 4 peças de cada pontuação (1, 2, 3 e 4), uma de cada cor. A pontuação máxima de 8 peças é 4\cdot4+4\cdot3=28 (4 estrelas e 4 quadrados). Logo, só podem valer 26, 27 ou 28 pontos. Sejam a,b,c,d as quantidades de círculos, triângulos, quadrados e estrelas, com a+b+c+d=8 e cada uma de 0 a 4. O número de coleções de cada tipo é \binom4a\binom4b\binom4c\binom4d.
-
28 pontos: d=4, c=4. Há 1 coleção.
-
27 pontos: d=4, c=3, b=1. Há \binom43\binom41=16 coleções. Não há outra possibilidade: com d=3 seria preciso c=5, o que não existe.
-
26 pontos:
- d=4, c=3, a=1: \binom43\binom41=16;
- d=4, c=2, b=2: \binom42\binom42=36;
- d=3, c=4, b=1: \binom43\binom44\binom41=16;
- com d\le2 o máximo é 8+12+4=24... mais precisamente, não se chega a 26.
Total: 16+36+16=68? Conferindo, as combinações com d=4 somam 16+36=52 e a de d=3 soma 16, então o total de 26 pontos é 68.
Somando: 1+16+68=85.
85 coleções.
Assuntos: combinatória, probabilidade, contagem com restrições.
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