Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Matemática

O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

Passo 0: começa-se com um triângulo equilátero de lados de medida 1. Passo 1: divide-se cada lado do triângulo do Passo 0 em 3 segmentos iguais e constrói-se um triângulo equilátero com base em cada segmento do meio. Passo 2: repete-se o procedimento descrito no Passo 1 em cada lado da figura obtida no passo anterior.
Contorno azul de um triângulo equilátero com um vértice voltado para cima, correspondente ao Passo 0. Contorno azul de uma estrela de seis pontas, obtida acrescentando um triângulo equilátero ao terço central de cada lado do triângulo inicial, correspondente ao Passo 1. Contorno azul do floco de neve de Koch no Passo 2, obtido repetindo em cada lado da estrela do Passo 1 a construção de uma ponta triangular no segmento central.

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, ...) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Note e adote:
\log_{10} 2 \cong 0{,}301
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Em cada passo, cada lado da figura é dividido em 3 partes iguais e o segmento do meio é substituído por outros 2 lados do novo triângulo (o lado da base some). Assim, cada lado vira 4 lados, e o número de lados fica multiplicado por 4 a cada passo.

No Passo 0 há 3 lados, então no Passo k há L_k = 3\cdot 4^k lados.

No Passo 3:

L_3 = 3\cdot 4^3 = 3\cdot 64 = 192

192 lados.

b) A cada passo, cada lado é dividido em 3, então o comprimento de cada lado fica dividido por 3. No Passo k o lado mede \left(\frac{1}{3}\right)^k.

O perímetro é o número de lados vezes a medida do lado:

P_k = 3\cdot 4^k\cdot\frac{1}{3^k}=3\left(\frac{4}{3}\right)^k

No Passo 5:

P_5 = 3\cdot\frac{4^5}{3^5}=\frac{4^5}{3^4}=\frac{1024}{81}

\dfrac{1024}{81}\approx 12{,}6.

c) Queremos 3\cdot 4^k > 6\cdot 10^{12}, ou seja, 4^k > 2\cdot 10^{12}.

Aplicando \log_{10} aos dois lados:

2k\log 2 > \log 2 + 12

Com \log 2 \cong 0{,}301:

0{,}602\,k > 12{,}301 \Rightarrow k > \frac{12{,}301}{0{,}602}\cong 20{,}43

Como k é inteiro, o menor valor é k=21. Conferindo: com k=20, 0{,}602\cdot 20 = 12{,}04 < 12{,}301 (não supera); com k=21, 0{,}602\cdot 21 = 12{,}642 > 12{,}301 (supera).

A partir do Passo 21.

Assuntos: progressão geométrica, logaritmos, sequências recursivas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão M02 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2020