Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Matemática

A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \cdots
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 \cdots
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 \cdots
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 \cdots
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 \cdots
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 \cdots
\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 \times 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado n \times n, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n?

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Resolução comentada

Na linha i e coluna j da tabela está o número 7(i-1)+j. Cada coluna à direita soma 1 e cada linha abaixo soma 7. Um quadrado n\times n cujo menor número (canto superior esquerdo) é a tem os elementos a+7r+c, com r,c\in\{0,\dots,n-1\}.

a)

Vou escolher o quadrado 3\times3 do canto da tabela:

\begin{matrix}1&2&3\\8&9&10\\15&16&17\end{matrix}

As somas das linhas são 6, 27 e 48, então a soma total é 6+27+48=81=9\cdot 9.

Vale para qualquer quadrado 3\times 3 de menor número a. A soma é 9a+3\cdot7(0+1+2)+3(0+1+2)=9a+63+9=9(a+8), sempre múltiplo de 9.

Soma de um quadrado qualquer: vale n^2a+7n\cdot\frac{n(n-1)}{2}+n\cdot\frac{n(n-1)}{2}=n^2a+4n^2(n-1)=n^2(a+4n-4). Vou usar isso nos próximos itens.

b)

Para n=4, a soma é 16(a+12)=16a+192.

  1. 16a+192=1056
  2. 16a=864
  3. a=54

O quadrado tem o 54 no canto superior esquerdo (linha 8, coluna 5), e os números vão de 54 a 54+7\cdot3+3=78. Esse quadrado cabe na tabela, que continua indefinidamente para a direita e para baixo.

O menor número é 54.

c)

Com a=4, a soma é n^2(4+4n-4)=4n^3.

  1. 4n^3=108000
  2. n^3=27000
  3. n=30

O quadrado com a=4 no canto superior esquerdo (linha 1, coluna 4) cabe na tabela, que se estende indefinidamente para a direita.

n=30

Assuntos: progressão aritmética, soma de termos, padrões numéricos em tabelas.

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