Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2020

Question

Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3\text{ }d_{TL} do centro da Terra e a 1/3\text{ }d_{TL} do centro da Lua, sendo d_{TL} a distância entre os centros da Terra e da Lua.

Esquema mostrando a Terra à esquerda e a Lua à direita, alinhadas horizontalmente com a distância entre seus centros indicada como 2/3 d_TL até o ponto P e 1/3 d_TL de P até o centro da Lua. Uma trajetória curva em laranja parte da Terra, cruza a linha entre os astros no ponto P e entra em órbita circular ao redor da Lua a uma altura igual ao raio da Lua R_L.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão F_T/F_L entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua (R_L), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua M_L e do raio da Lua R_L;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0{,}5\text{ }R_L. Expresse seu resultado em termos de G, R_L, M_L e da massa da sonda m_S.

Note e adote:
O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por F = \frac{GMm}{d^2} A energia potencial gravitacional correspondente é dada por U = -\frac{GMm}{d}. Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.

Answer 1

Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Física

Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3\text{ }d_{TL} do centro da Terra e a 1/3\text{ }d_{TL} do centro da Lua, sendo d_{TL} a distância entre os centros da Terra e da Lua.

Esquema mostrando a Terra à esquerda e a Lua à direita, alinhadas horizontalmente com a distância entre seus centros indicada como 2/3 d_TL até o ponto P e 1/3 d_TL de P até o centro da Lua. Uma trajetória curva em laranja parte da Terra, cruza a linha entre os astros no ponto P e entra em órbita circular ao redor da Lua a uma altura igual ao raio da Lua R_L.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão F_T/F_L entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua (R_L), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua M_L e do raio da Lua R_L;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0{,}5\text{ }R_L. Expresse seu resultado em termos de G, R_L, M_L e da massa da sonda m_S.

Note e adote:
O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por F = \frac{GMm}{d^2} A energia potencial gravitacional correspondente é dada por U = -\frac{GMm}{d}. Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.

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Resolução comentada

a) A força gravitacional vale F = \frac{GMm}{d^2}. No ponto P a sonda tem a mesma massa m nas duas interações, então:

\frac{F_T}{F_L}=\frac{M_T}{M_L}\cdot\left(\frac{d_L}{d_T}\right)^2

Aqui M_T = 82\,M_L, d_T = \frac{2}{3}d_{TL} (distância de P à Terra) e d_L = \frac{1}{3}d_{TL} (distância de P à Lua). Então:

\frac{F_T}{F_L}=82\cdot\frac{(1/3)^2}{(2/3)^2}=82\cdot\frac{1}{4}=20{,}5

F_T/F_L = 20{,}5

b) A altura da órbita é R_L acima da superfície. O raio da órbita, medido do centro da Lua, é r = R_L + R_L = 2R_L.

Na órbita circular, a força gravitacional da Lua é a resultante centrípeta:

\frac{GM_Lm_S}{r^2}=\frac{m_Sv^2}{r}\;\Rightarrow\; v=\sqrt{\frac{GM_L}{r}}=\sqrt{\frac{GM_L}{2R_L}}

v=\sqrt{\dfrac{GM_L}{2R_L}}

c) Em órbita circular, m_Sv^2 = \frac{GM_Lm_S}{r}, então a energia cinética é K=\frac{GM_Lm_S}{2r}. A energia potencial é U=-\frac{GM_Lm_S}{r}. Somando:

E=K+U=-\frac{GM_Lm_S}{2r}

Órbita inicial, r_1 = 2R_L: E_1=-\dfrac{GM_Lm_S}{4R_L}.
Órbita final, altura 0{,}5R_L, logo r_2 = 1{,}5R_L: E_2=-\dfrac{GM_Lm_S}{3R_L}.
Variação:

\Delta E=E_2-E_1=-\frac{GM_Lm_S}{R_L}\left(\frac13-\frac14\right)=-\frac{GM_Lm_S}{12R_L}

A energia mecânica diminui, como esperado ao descer para uma órbita mais baixa.

\Delta E=-\dfrac{GM_Lm_S}{12R_L}

Assuntos: gravitação universal, órbitas circulares, energia mecânica.

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Questão F05 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2020