Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Física

Em um ambiente do qual se retirou praticamente todo o ar, as placas de um capacitor estão arranjadas paralelamente e carregadas com cargas de mesma magnitude Q e sinais contrários, produzindo, na região entre as placas, um campo elétrico que pode ser considerado uniforme, com módulo igual a 10^6\ \text{V/m}. Uma partícula carregada negativamente, com carga de módulo igual a 10^{-9}\ \text{C}, é lançada com velocidade de módulo V_0 igual a 100\ \text{m/s} ao longo da linha que passa exatamente pelo centro da região entre as placas, como mostrado na figura. A distância d entre as placas é igual a 1\ \text{mm}. Despreze os efeitos gravitacionais.

Esquema de um capacitor de placas paralelas horizontais separadas por uma distância d. A placa superior está carregada com +Q e a inferior com -Q, com linhas de campo elétrico verticais E orientadas para baixo. Uma partícula é lançada da esquerda com velocidade horizontal V0 na linha central entre as placas. Mostram-se duas possíveis trajetórias pontilhadas: a trajetória 1, que curva para cima atingindo a placa superior a uma distância horizontal x, e a trajetória 2, que curva para baixo atingindo a placa inferior a uma distância horizontal x.

a) Aponte, entre as trajetórias 1 e 2 mostradas na figura, aquela que mais se aproxima do movimento da partícula na região entre as placas.

b) Sabendo que a massa da partícula é igual a 10\ \mu\text{g}, determine a que distância horizontal x a partícula atingirá uma das placas, supondo que elas sejam suficientemente longas.

c) Quais seriam o sentido e o módulo de um eventual campo magnético a ser aplicado na região entre as placas, perpendicularmente ao plano da página, para que a partícula, em vez de seguir uma trajetória curva, permaneça movendo-se na mesma direção e no mesmo sentido com que foi lançada?

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Resolução comentada

a) O campo elétrico aponta para baixo (da placa +Q para a placa -Q). Como a partícula tem carga negativa, a força elétrica tem sentido oposto ao do campo, ou seja, para cima. A partícula é desviada para a placa superior (positiva) e a trajetória é uma parábola com concavidade para cima. Portanto, é a trajetória 1.

b) Na horizontal não há força, e o movimento é uniforme com V_0 = 100\ \text{m/s}. Na vertical o movimento é uniformemente acelerado, a partir do repouso vertical, com

a = \frac{|q|E}{m} = \frac{10^{-9}\cdot 10^{6}}{10^{-8}} = 10^{5}\ \text{m/s}^2

Com m = 10\ \mu\text{g} = 10^{-8}\ \text{kg}. A partícula parte da linha central, então precisa subir d/2 = 0{,}5\ \text{mm} = 5\cdot10^{-4}\ \text{m} para atingir a placa:

  1. \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2}at^2 \Rightarrow t^2 = \dfrac{10^{-3}}{10^{5}} = 10^{-8}\ \text{s}^2 \Rightarrow t = 10^{-4}\ \text{s}
  2. x = V_0 t = 100\cdot 10^{-4} = 10^{-2}\ \text{m}

x = 1\ \text{cm}

c) Para a partícula seguir em linha reta, a força magnética deve equilibrar a força elétrica. Como a força elétrica é para cima, a magnética deve ser para baixo, com o mesmo módulo:

|q|V_0B = |q|E \Rightarrow B = \frac{E}{V_0} = \frac{10^{6}}{100} = 10^{4}\ \text{T}

Para o sentido, use \vec F = q\,\vec v\times\vec B. Com \vec v para a direita e q<0, a força é para baixo quando \vec v\times\vec B aponta para cima. Isso ocorre quando \vec B entra na página. Na regra da mão direita, que vale para carga positiva, a força seria para cima, e a carga negativa inverte isso.

B = 10^{4}\ \text{T}, perpendicular à página, com sentido entrando na página.

Assuntos: movimento de partícula em campo elétrico uniforme, força magnética, capacitor de placas paralelas.

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