Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2020
Uma equilibrista de massa M desloca-se sobre uma tábua uniforme de comprimento L e massa m apoiada (sem fixação) sobre duas colunas separadas por uma distância D (D<L) de modo que o centro da tábua esteja equidistante das colunas. O ponto de apoio da equilibrista está a uma distância d (tal que D/2<d<L/2) do centro da tábua, como mostra a figura.
a) Considerando que a tábua está em equilíbrio, faça um diagrama indicando todas as forças que atuam sobre a tábua e seus respectivos pontos de aplicação.
b) Calcule o torque resultante exercido pelos pesos da equilibrista e da tábua em relação ao ponto A (ponto de apoio da tábua na coluna mais próxima da equilibrista). Escreva sua resposta em termos de grandezas mencionadas no enunciado (M, L, m, D, d) e da aceleração da gravidade g.
c) Calcule a distância máxima d_{\text{máx}} da equilibrista ao centro da tábua para que o conjunto permaneça em equilíbrio estático. Considere os seguintes dados: comprimento da tábua: L = 5\text{ m}; massa da tábua: m = 20\text{ kg}, massa da equilibrista: M = 60\text{ kg}, distância entre as colunas: D = 3\text{ m}.
| Note e adote: |
|---|
| Despreze as espessuras da tábua e da coluna. Use g = 10\text{ m/s}^2 |
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Resolução comentada
a) Sobre a tábua atuam quatro forças. Tome o centro da tábua como origem.
- Peso da tábua, m\vec g, vertical para baixo, aplicado no centro da tábua (ela é uniforme).
- Força da equilibrista sobre a tábua, vertical para baixo e de módulo Mg (o peso dela, com ela em repouso), aplicada no ponto de apoio dela, a uma distância d à direita do centro.
- Normal da coluna da direita, \vec N_A, vertical para cima, aplicada no ponto A (a D/2 à direita do centro).
- Normal da coluna da esquerda, \vec N_B, vertical para cima, aplicada no topo da coluna esquerda (a D/2 à esquerda do centro).
No diagrama, desenhe duas setas para cima, nos topos das colunas, e duas para baixo: uma no centro da tábua e outra a d do centro, à direita.
Forças: m\vec g no centro, M\vec g a d do centro, \vec N_A em A e \vec N_B na coluna esquerda.
b) Calcule os torques em relação a A. A normal \vec N_A passa por A e não gera torque.
- Peso da tábua: o braço é D/2 (o centro fica à esquerda de A). O torque é anti-horário e vale mg\,\dfrac{D}{2}.
- Peso da equilibrista: o braço é d-\dfrac D2 (ela fica à direita de A, pois d>D/2). O torque é horário e vale Mg\left(d-\dfrac D2\right).
Tomando o sentido horário como positivo:
Se o resultado for positivo, o torque é horário. Se for negativo, é anti-horário. O módulo não depende de L.
\tau = g\left[M\left(d-\dfrac D2\right)-m\dfrac D2\right], em relação ao ponto A, positivo no sentido horário.
c) Quando d é máximo, a tábua está prestes a girar em torno de A e perde contato com a coluna esquerda, ou seja, N_B=0. Nesse limite, o torque resultante dos pesos em relação a A deve ser nulo, pois só N_A resta e ela não gera torque:
Substituindo D=3\ \text{m}, m=20\ \text{kg} e M=60\ \text{kg}:
Confira: 60\cdot(2-1{,}5)=30=20\cdot 1{,}5. Além disso, 2\ \text{m}<L/2=2{,}5\ \text{m}, então a equilibrista ainda está sobre a tábua.
d_{\text{máx}}=2\ \text{m}
Assuntos: estática do corpo extenso, torque, equilíbrio de rotação.
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