Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2020
A tomografia por emissão de pósitrons (PET) é uma técnica de imagem por contraste na qual se utilizam marcadores com radionuclídeos emissores de pósitrons. O radionuclídeo mais utilizado em PET é o isótopo 18 do flúor, que decai para um núcleo de oxigênio-18, emitindo um pósitron. O número de isótopos de flúor-18 decai de forma exponencial, com um tempo de meia-vida de aproximadamente 110 minutos.
A imagem obtida pela técnica de PET é decorrente da detecção de dois fótons emitidos em sentidos opostos devido à aniquilação, por um elétron, do pósitron resultante do decaimento. A detecção é feita por um conjunto de detectores montados num arranjo radial. Ao colidir com um dos detectores, o fóton gera cargas no material do detector, as quais, por sua vez, resultam em um sinal elétrico registrado no computador do equipamento de tomografia. A intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos de flúor-18 existentes no início do processo.
a) Após a realização de uma imagem PET, o médico percebeu um problema no funcionamento do equipamento e o reparo durou 3h40min. Calcule a razão entre a intensidade do sinal da imagem obtida após o reparo do equipamento e a da primeira imagem.
b) Calcule a energia de cada fóton gerado pelo processo de aniquilação elétron-pósitron considerando que o pósitron e o elétron estejam praticamente em repouso. Esta é a energia mínima possível para esse fóton.
c) A carga elétrica gerada dentro do material do detector pela absorção do fóton é proporcional à energia desse fóton. Sabendo-se que é necessária a energia de 3\text{ eV} para gerar o equivalente à carga de um elétron no material, estime a carga total gerada quando um fóton de energia 600\text{ keV} incide no detector.
| Note e adote: |
|---|
| O elétron e o pósitron, sua antipartícula, possuem massas iguais e cargas de sinais opostos. |
| Relação de Einstein para a energia de repouso de uma partícula: E = mc^2. |
| Carga do elétron = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} |
| Massa do elétron: m = 9 \times 10^{-31}\text{ kg} |
| Velocidade da luz: c = 3 \times 10^8\text{ m/s} |
| 1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} |
| “Tempo de meia-vida”: tempo necessário para que o número de núcleos radioativos caia para metade do valor inicial. |
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Resolução comentada
a) O reparo durou 3\text{ h }40\text{ min} = 220\ \text{min}. Como a meia-vida é de 110\ \text{min}, passaram-se
A cada meia-vida o número de núcleos de flúor-18 cai pela metade, então N = N_0/2^2 = N_0/4. Como a intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos, a razão entre as intensidades é a mesma razão entre os números de núcleos.
Razão = \dfrac{1}{4} = 0{,}25.
b) Com elétron e pósitron em repouso, a energia total antes da aniquilação é só a energia de repouso das duas partículas, 2mc^2. Os dois fótons saem em sentidos opostos, com momento total nulo, então dividem essa energia igualmente. Cada fóton leva:
Em elétron-volts, isso dá \dfrac{8{,}1\times10^{-14}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx 5{,}1\times10^{5}\ \text{eV} \approx 510\ \text{keV}.
Energia de cada fóton: E \approx 8{,}1\times10^{-14}\ \text{J} (cerca de 510\ \text{keV}).
c) São necessários 3\ \text{eV} para gerar a carga de um elétron. Um fóton de 600\ \text{keV} = 6\times10^{5}\ \text{eV} gera, portanto:
A carga total é:
Q \approx 3{,}2\times10^{-14}\ \text{C}.
Assuntos: decaimento radioativo, energia de repouso (E = mc²), eletronvolt.
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