Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2020

2º dia · Física

Um mol de um gás ideal monoatômico é resfriado adiabaticamente de uma temperatura inicial T_1 até uma temperatura final T_1/3.

Com base nessas informações, responda:

a) O gás sofreu expansão ou compressão ao final do processo? Justifique sua resposta.

b) Encontre o valor do trabalho realizado pelo gás nesse processo em termos da constante universal dos gases ideais R e de T_1.

c) Encontre a razão entre as pressões final e inicial do gás após o processo.

Note e adote:
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente.
Energia interna por mol de um gás ideal monoatômico: U = 3RT/2.
Para o processo adiabático em questão, vale a relação PV^{5/3} = \text{constante}.
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Resolução comentada

a) Num processo adiabático Q = 0, então a primeira lei da termodinâmica, \Delta U = Q - W, fica \Delta U = -W.\n\nO gás é resfriado, logo T diminui e \Delta U = \frac{3}{2}R\Delta T < 0. Isso dá W = -\Delta U > 0.\n\nTrabalho positivo realizado pelo gás significa que ele empurra o ambiente, ou seja, seu volume aumenta. O gás sofreu expansão, e a energia gasta no trabalho saiu da energia interna, o que explica o resfriamento.\n\nResposta: o gás sofreu expansão, pois Q=0 e a queda de temperatura implica W>0.\n\nb) Para n = 1 mol, a variação de energia interna é:\n\n

\Delta U = \frac{3}{2}R\left(\frac{T_1}{3} - T_1\right) = \frac{3}{2}R\left(-\frac{2T_1}{3}\right) = -RT_1
\n\nComo Q=0, o trabalho realizado pelo gás é:\n\n
W = -\Delta U = RT_1
\n\nResposta: W = RT_1.\n\nc) Usamos a relação do enunciado, PV^{5/3}=\text{constante}, junto com a equação de estado PV = RT (1 mol).\n\nIsolando V = RT/P e substituindo:\n\n
P\left(\frac{RT}{P}\right)^{5/3} = \text{cte} \Rightarrow P^{-2/3}\,T^{5/3} = \text{cte} \Rightarrow \frac{T^{5/2}}{P} = \text{cte}
\n\nLogo P \propto T^{5/2}, e:\n\n
\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^{5/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{5/2} = \frac{1}{9\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{27} \approx 0{,}064
\n\nA pressão final é cerca de 6% da inicial, coerente com uma expansão acompanhada de resfriamento.\n\nResposta: P_f/P_i = 3^{-5/2} = \dfrac{1}{9\sqrt{3}} \approx 0{,}064.

Assuntos: termodinâmica, transformação adiabática, gás ideal.

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