Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Física

O foguete Saturno V, um dos maiores já construídos, foi lançado há 50 anos para levar os primeiros humanos à Lua. Tinha cerca de 3.000 ton de massa total, 110 m de altura e diâmetro máximo de 10 m. O primeiro estágio, acionado no lançamento, tinha 2.000 ton de combustível. Todo este combustível foi queimado e ejetado em 180 s com velocidade V_e de escape dos gases, aproximadamente igual a 3.000 m/s.

Determine os valores aproximados

a) da taxa média \alpha, em kg/s, com que o combustível foi ejetado;

b) do módulo F da força resultante sobre o foguete no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio, considerando \alpha constante;

c) dos módulos a da aceleração do foguete e v da sua velocidade, no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio.

Note e adote:

1\text{ ton} = 10^3\text{ kg}

Considere a aceleração da gravidade g igual a 10\text{ m/s}^2

A força motora de um foguete, chamada força de empuxo, é dada por F_e = \alpha\ V_e

A velocidade de um foguete em trajetória vertical é dada por v = V_e \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) - gt, em que m_0 é a massa total no lançamento e m, a massa restante após um intervalo de tempo t.

\ln(x) é uma função que assume os seguintes valores, aproximadamente: \ln(1{,}5) = 0{,}4; \ln(2) = 0{,}7; \ln(3) = 1{,}1

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Resolução comentada

a)

A taxa média de ejeção é a razão entre a massa de combustível expelida e o tempo de queima. A massa a considerar é a do combustível do primeiro estágio, não a massa total do foguete. Convertendo toneladas para quilogramas, temos:

m_c=2.000\times10^3=2{,}0\times10^6\ \text{kg}.

Assim,

\alpha=\frac{m_c}{\Delta t}=\frac{2{,}0\times10^6}{180}\approx1{,}11\times10^4\ \text{kg/s}.

A taxa \alpha é positiva, pois representa a quantidade de massa ejetada por segundo, embora a massa restante do foguete diminua.

\alpha\approx1{,}11\times10^4\ \text{kg/s}.

b)

Imediatamente antes do término da queima, praticamente todo o combustível do primeiro estágio já foi ejetado. Como ainda não ocorreu a separação desse estágio, a massa restante é a massa inicial menos a massa de combustível consumida:

m=(3.000-2.000)\times10^3=1{,}0\times10^6\ \text{kg}.

O empuxo atua para cima e o peso, para baixo. Usando a taxa do item anterior, sem arredondá-la durante o cálculo:

F_e=\alpha V_e=\frac{2{,}0\times10^6}{180}\times3.000\approx3{,}33\times10^7\ \text{N}.

O peso nesse instante vale

P=mg=1{,}0\times10^6\times10=1{,}0\times10^7\ \text{N}.

Como o empuxo supera o peso, a resultante aponta para cima e tem módulo F=F_e-P.

F\approx2{,}33\times10^7\ \text{N}, para cima.

c)

Pela segunda lei de Newton, a aceleração instantânea é a força resultante dividida pela massa restante naquele instante:

a=\frac{F}{m}\approx\frac{2{,}33\times10^7}{1{,}0\times10^6}=23{,}3\ \text{m/s}^2.

Para calcular a velocidade, usamos a expressão fornecida. Não podemos usar v=at com a aceleração final, pois a massa do foguete diminui durante a queima e sua aceleração não é constante.

No instante considerado, t=180\ \text{s} e a razão entre as massas é

\frac{m_0}{m}=\frac{3{,}0\times10^6}{1{,}0\times10^6}=3.

Adotando \ln(3)=1{,}1:

v=V_e\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)-gt=3.000\times1{,}1-10\times180=1.500\ \text{m/s}.

a\approx23{,}3\ \text{m/s}^2 e v\approx1{,}5\times10^3\ \text{m/s}.

Assuntos: dinâmica de foguetes, segunda lei de newton, vazão mássica.

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