Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Física

Duas placas metálicas planas e circulares, de raio R, separadas por uma distância d \text{ << } R, estão dispostas na direção horizontal. Entre elas, é aplicada uma diferença de potencial V, de modo que a placa de cima fica com carga negativa e a de baixo, positiva. No centro da placa superior, está afixado um fio isolante de comprimento \text{L} < d com uma pequena esfera metálica presa em sua extremidade, como mostra a figura. Essa esfera tem massa m e está carregada com carga negativa -q. O fio é afastado da posição de equilíbrio de um ângulo \theta, e a esfera é posta em movimento circular uniforme com o fio mantendo o ângulo \theta com a vertical.

Pêndulo cônico formado por esfera suspensa por fio fixo no centro da placa superior negativa, girando com velocidade angular ômega em trajetória circular horizontal entre as placas carregadas, inclinada em um ângulo teta em relação à linha vertical.

Determine

a) o módulo E do campo elétrico entre as placas;

b) os módulos T e F, respectivamente, da tração no fio e da força resultante na esfera;

c) a velocidade angular \omega da esfera.

Note e adote:
A aceleração da gravidade é g.

Forças dissipativas devem ser ignoradas.
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Resolução comentada

a) As placas são planas e paralelas, com d \ll R, então o campo entre elas é uniforme. Seu módulo é a diferença de potencial dividida pela distância:

E = \frac{V}{d}

O campo aponta da placa positiva (embaixo) para a negativa (em cima), isto é, para cima. Como a carga da esfera é negativa, a força elétrica sobre ela aponta para baixo, com módulo qE = \dfrac{qV}{d}.

Resposta: E = V/d.

b) Sobre a esfera atuam três forças:

  • o peso mg, para baixo;
  • a força elétrica qV/d, também para baixo;
  • a tração T, ao longo do fio.

A esfera descreve um círculo horizontal, então não há aceleração vertical. A componente vertical da tração equilibra as duas forças verticais:

T\cos\theta = mg + \frac{qV}{d} \;\Rightarrow\; T = \frac{mg + qV/d}{\cos\theta}

A força resultante é a componente horizontal da tração, que aponta para o centro da trajetória e faz o papel de força centrípeta:

F = T\,\sen\theta = \left(mg + \frac{qV}{d}\right)\tg\theta

Resposta: T = \dfrac{mg + qV/d}{\cos\theta} e F = \left(mg + \dfrac{qV}{d}\right)\tg\theta.

c) O raio da trajetória é r = L\,\sen\theta. No movimento circular uniforme, a resultante é centrípeta:

F = m\omega^2 r = m\omega^2 L\,\sen\theta

Igualando ao resultado do item (b):

m\omega^2 L\,\sen\theta = \left(mg + \frac{qV}{d}\right)\frac{\sen\theta}{\cos\theta}
\omega^2 = \frac{mg + qV/d}{mL\cos\theta} = \frac{1}{L\cos\theta}\left(g + \frac{qV}{md}\right)

É como um pêndulo cônico em que a gravidade efetiva vale g + \dfrac{qV}{md}.

Resposta: \omega = \sqrt{\dfrac{g + qV/(md)}{L\cos\theta}}.

Assuntos: pêndulo cônico, campo elétrico uniforme, dinâmica do movimento circular.

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