Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2018

3º dia · Física

O motor Stirling, uma máquina térmica de alto rendimento, é considerado um motor ecológico, pois pode funcionar com diversas fontes energéticas. A figura I mostra esquematicamente um motor Stirling com dois cilindros. O ciclo termodinâmico de Stirling, mostrado na figura II, representa o processo em que o combustível é queimado externamente para aquecer um dos dois cilindros do motor, sendo que uma quantidade fixa de gás inerte se move entre eles, expandindo-se e contraindo-se. Nessa figura está representado um ciclo de Stirling no diagrama P \times V para um mol de gás ideal monoatômico. No estado A, a pressão é P_A = 4\ \text{atm}, a temperatura é T_1 = 27\,^\circ\text{C} e o volume é V_A. A partir do estado A, o gás é comprimido isotermicamente até um terço do volume inicial, atingindo o estado B. Na isoterma T_1, a quantidade de calor trocada é Q_1 = 2\,640\ \text{J}, e, na isoterma T_2, é Q_2 = 7\,910\ \text{J}.

Figura I: esquema de um motor Stirling com dois cilindros conectados, identificados como Cilindro quente e Cilindro frio, e pistões ligados a um mecanismo com roda. Figura II: ciclo de Stirling no diagrama de pressão P em função do volume V, para n = 1 mol. Os pontos A e D estão no volume V_A, e B e C no volume V_B. A está na pressão P_A, B e D na pressão P_B, e C na pressão P_C. As isotermas T_1 e T_2 ligam, respectivamente, A a B e C a D. Setas indicam o percurso A → B → C → D → A, com B → C e D → A verticais. Linhas tracejadas indicam os volumes e as pressões dos estados.

Determine

a) o volume V_A, em litros;

b) a pressão P_D, em atm, no estado D;

c) a temperatura T_2.

Considerando apenas as transformações em que o gás recebe calor, determine

d) a quantidade total de calor recebido em um ciclo, Q_R, em J.

Note e adote:
Calor específico a volume constante: C_V = 3\ R/2
Constante universal do gases: R = 8\ \text{J}/(\text{mol}\ \text{K}) = 0{,}08\ \text{atm}\ \ell\ /(\text{mol}\ \text{K})
0\,^\circ\text{C} = 273\ \text{K}
1\ \text{atm} = 10^5\ \text{Pa}
1\ \text{m}^3 = 1000\ \ell
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a) Em A vale a equação de estado P_AV_A = nRT_1, com T_1 = 27 + 273 = 300\ \text{K}:

V_A = \frac{nRT_1}{P_A} = \frac{1\cdot 0{,}08\cdot 300}{4} = 6\ \ell

V_A = 6\ \ell

b) De A para B o processo é isotérmico e o volume cai a um terço: V_B = 2\ \ell. Pela lei de Boyle:

P_B = \frac{P_AV_A}{V_B} = \frac{4\cdot 6}{2} = 12\ \text{atm}

No diagrama, D está na mesma pressão que B (linha tracejada horizontal), logo P_D = P_B.

P_D = 12\ \text{atm}

c) O estado D tem P_D = 12\ \text{atm} e V_D = V_A = 6\ \ell, e pertence à isoterma T_2:

T_2 = \frac{P_DV_D}{nR} = \frac{12\cdot 6}{0{,}08} = 900\ \text{K}

Conferência com Q_2: Q_2 = nRT_2\ln\frac{V_D}{V_C} = 8\cdot 900\cdot \ln 3 \approx 7\,910\ \text{J}, o valor dado.

T_2 = 900\ \text{K} (627 °C)

d) Recebe calor o gás nas transformações em que a temperatura sobe ou que são expansões isotérmicas:

  1. B \to C (isocórica, aquece de T_1 a T_2): não há trabalho, então
    Q_{BC} = nC_V\Delta T = 1\cdot\frac{3\cdot 8}{2}\cdot(900-300) = 12\cdot 600 = 7\,200\ \text{J}
  2. C \to D (expansão isotérmica a T_2): Q_{CD} = Q_2 = 7\,910\ \text{J}.

Em D\to A (resfriamento isocórico) e em A\to B (compressão isotérmica) o gás cede calor. Assim:

Q_R = 7\,200 + 7\,910 = 15\,110\ \text{J}

Q_R = 15\,110\ \text{J}

Assuntos: ciclo de stirling, gás ideal, primeira lei da termodinâmica.

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