Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2018

3º dia · Física

Um espectrômetro óptico, representado na figura, utiliza um prisma como elemento de dispersão da luz de diferentes comprimentos de onda. O espectrômetro possui uma fenda de entrada de luz, \mathrm{F}_1, uma lente convergente, \mathrm{L}_1, um prisma de vidro com ângulos internos de 60^\circ e uma segunda lente convergente, \mathrm{L}_2, que permite a focalização do comprimento de onda da luz refratada pelo prisma em uma fenda, \mathrm{F}_2, imediatamente à frente do detector D. Cada comprimento de onda é focalizado em posições laterais diferentes no plano focal de \mathrm{L}_2.

a) Determine a distância focal, f, da lente \mathrm{L}_1, posicionada a 30 mm da fenda \mathrm{F}_1, para que um feixe de luz branca, difratado pela fenda \mathrm{F}_1, incida no prisma com os seus raios paralelos entre si.

b) O espectrômetro foi construído impondo-se que um raio de luz violeta (\lambda_{\text{violeta}} = 400\ \text{nm}) se propague no interior do prisma (n = 1{,}53 para a luz violeta), paralelamente à sua face inferior. Nesta condição, determine o valor do ângulo de incidência, i, da luz branca, em relação à normal à superfície do prisma.

Esquema do espectrômetro: a luz parte da fenda F₁, atravessa a lente convergente L₁ e incide na face esquerda de um prisma triangular. O trajeto tracejado dentro do prisma é paralelo à face inferior. O feixe emergente atravessa a lente convergente L₂ e chega à fenda F₂, à frente do detector D. Estão indicados o ponto P no interior do prisma, as normais às faces, o ângulo de incidência i, o ângulo r na saída, o desvio angular d entre o prolongamento do feixe incidente e o feixe emergente e o deslocamento lateral ΔS do conjunto F₂ e D.

Para este espectrômetro, o gráfico na página de respostas apresenta o desvio angular, d, entre o feixe incidente e o feixe emergente do prisma, em função do comprimento de onda da luz refratada.

c) Determine a diferença no desvio angular, \Delta d, entre os feixes de luz violeta (\lambda_{\text{violeta}} = 400\ \text{nm}) e vermelha (\lambda_{\text{vermelho}} = 700\ \text{nm}) refratados pelo prisma.

d) Considere que a distância da lente \mathrm{L}_2 ao ponto P seja 20 cm. Determine o deslocamento lateral, \Delta S, em relação à posição de medida para o raio violeta, do conjunto \mathrm{F}_2 e D, para que o feixe de luz vermelha seja detectado.

Note e adote:
\sen 30^\circ = 0{,}50;\quad \sen 40^\circ = 0{,}65;\quad \sen 50^\circ = 0{,}77;\quad \sen 60^\circ = 0{,}87.
Para ângulos pequenos (\theta < 15^\circ), utilizar a aproximação trigonométrica \sen\theta \approx \tg\theta \approx \theta/60, para \theta em graus.
1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}.
Índice de refração do ar: n_{ar} = 1.
A abertura de ambas as fendas é cerca de 10 vezes os comprimentos de ondas envolvidos.

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Resolução comentada

a)

Para que os raios saiam paralelos de uma lente convergente, a fonte de luz deve estar no seu plano focal. Nesse caso, a fenda \mathrm{F}_1 funciona como fonte para o feixe que chega à lente, e sua imagem é formada no infinito.

Pela equação das lentes, com distância do objeto p=30\ \text{mm} e distância da imagem p'\to\infty:

\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{30\ \text{mm}}+0.

Portanto, a distância entre a fenda e a lente deve ser igual à distância focal.

Resposta: f=30\ \text{mm}.

b)

Como o prisma é equilátero, sua face de entrada faz 60^\circ com a base. A normal a essa face faz, portanto, 30^\circ com a base. Assim, o raio violeta, que se propaga paralelamente à base, tem ângulo de refração interno igual a 30^\circ.

Aplicando a lei de Snell na passagem do ar para o vidro:

n_{\text{ar}}\sen i=n_{\text{violeta}}\sen30^\circ.

Com os valores fornecidos:

\sen i=1{,}53\cdot0{,}50=0{,}765\approx0{,}77.

Como \sen50^\circ=0{,}77, o ângulo de incidência é aproximadamente 50^\circ. Esse é o ângulo de incidência de todo o feixe branco; os ângulos refratados dependem do comprimento de onda.

Resposta: i\approx50^\circ.

c)

A diferença pedida deve ser obtida pela leitura dos desvios correspondentes a 400\ \text{nm} e 700\ \text{nm} no gráfico:

\Delta d=\left|d(400\ \text{nm})-d(700\ \text{nm})\right|.

Podemos conferir o desvio violeta pela geometria. Seu trajeto interno é simétrico, de modo que o ângulo de emergência também vale aproximadamente 50^\circ. Para um prisma de ângulo A=60^\circ:

d_{\text{violeta}}=i+e-A=50^\circ+50^\circ-60^\circ=40^\circ.

Entretanto, o gráfico mencionado não foi incluído na mensagem. Sem ele ou sem o índice de refração para o vermelho, não é possível determinar o desvio vermelho.

Resposta: \Delta d=|40^\circ-d_{\text{vermelho}}|; falta o gráfico para obter o valor numérico.

d)

No plano focal de uma lente convergente, feixes paralelos com direções diferentes são focalizados em posições diferentes. Tomando o feixe violeta como referência, a separação entre os focos é:

\Delta S=f_2\tg(\Delta d),

em que f_2 é a distância focal de \mathrm{L}_2. Pela aproximação fornecida, se \Delta d=\delta^\circ:

\Delta S\approx f_2\frac{\delta}{60}.

Há duas informações faltantes no material enviado: o gráfico necessário para obter \Delta d e a distância focal f_2. A distância de 20\ \text{cm} entre P e a lente não é, por si só, sua distância focal e não pode substituí-la nessa expressão.

Se a intenção do enunciado fosse informar f_2=20\ \text{cm}, teríamos \Delta S\approx(\delta/3)\ \text{cm}. Ainda assim, seria necessário conhecer \delta pelo gráfico.

Resposta: \Delta S=f_2\tg(\Delta d); os dados enviados não permitem determinar um valor numérico.

Assuntos: lentes convergentes, refração da luz, dispersão em prismas.

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