Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2018

3º dia · Física

Núcleos atômicos podem girar rapidamente e emitir raios \gamma. Nesse processo, o núcleo perde energia, passando sucessivamente por estados de energia cada vez mais baixos, até chegar ao estado fundamental, que é o estado de menor energia desse sistema. Nos laboratórios onde esses núcleos são estudados, detectores registram dados dos pulsos da radiação \gamma emitida, obtendo informações sobre o período de rotação nuclear. A perda de energia devido à emissão de radiação eletromagnética altera o período de rotação nuclear. O gráfico mostra quatro valores do período de rotação de um dos isótopos do núcleo de érbio (^{158}\text{Er}) durante um certo intervalo de tempo, obtidos a partir de dados experimentais.

À esquerda, esquema de um núcleo identificado como 158 Er, girando em torno de um eixo vertical tracejado, com uma seta curva indicada por ω e seis setas onduladas saindo do núcleo, identificadas como Raios γ. À direita, gráfico de dispersão intitulado 158 Er, com eixo horizontal Tempo (10⁻¹² s), marcado em 2, 4, 6 e 8, e eixo vertical Período de rotação (10⁻²¹ s), marcado em 2, 4, 6 e 8. Os quatro pontos têm coordenadas aproximadas (1; 6,5), (2; 7), (3,75; 7,5) e (8; 9), nas unidades dos eixos. Abaixo aparece o texto “Obtenha o valor da”.

a) velocidade angular de rotação, \omega, do núcleo no instante t = 8 \times 10^{-12}\text{ s}, em \text{rad/s};

b) aceleração angular média, \alpha, do núcleo entre os instantes t = 2 \times 10^{-12}\text{ s} e t = 8 \times 10^{-12}\text{ s}, em \text{rad/s}^2;

c) aceleração centrípeta, a_c, de uma porção de matéria nuclear localizada a uma distância R = 6 \times 10^{-15}\text{ m} do eixo de rotação nuclear para o instante t = 8 \times 10^{-12}\text{ s};

d) energia, E, emitida pelo ^{158}\text{Er} sob a forma de radiação eletromagnética entre os instantes t = 2 \times 10^{-12}\text{ s} e t = 8 \times 10^{-12}\text{ s}.

Note e adote:
Radiação \gamma: radiação eletromagnética de frequência muito alta.
Energia rotacional do núcleo E_R = (1/2)\ I\ \omega^2, onde I = 12 \times 10^{-55}\text{ J s}^2 é constante.
\pi = 3
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Resolução comentada

a) A velocidade angular se relaciona com o período por \omega = \dfrac{2\pi}{T}. No gráfico, em t = 8\times10^{-12}\ \text{s} o período é T = 9\times10^{-21}\ \text{s}. Com \pi = 3:

\omega = \frac{2\cdot 3}{9\times10^{-21}} \approx 6{,}7\times10^{20}\ \text{rad/s}

\omega \approx 6{,}7\times10^{20}\ \text{rad/s}

b) Primeiro achamos \omega em t = 2\times10^{-12}\ \text{s}, onde T = 7\times10^{-21}\ \text{s}:

\omega_2 = \frac{6}{7\times10^{-21}} \approx 8{,}6\times10^{20}\ \text{rad/s}

A aceleração angular média é a variação de \omega dividida pelo intervalo de tempo, \Delta t = 6\times10^{-12}\ \text{s}:

\alpha = \frac{\omega_8-\omega_2}{\Delta t} = \frac{6{,}7\times10^{20}-8{,}6\times10^{20}}{6\times10^{-12}} \approx -3{,}2\times10^{31}\ \text{rad/s}^2

O sinal negativo indica que o núcleo desacelera: o período aumenta porque ele perde energia.

\alpha \approx -3\times10^{31}\ \text{rad/s}^2

c) A aceleração centrípeta é a_c = \omega^2 R. Usando \omega em t = 8\times10^{-12}\ \text{s}:

a_c = (6{,}7\times10^{20})^2\cdot 6\times10^{-15} \approx 4{,}4\times10^{41}\cdot 6\times10^{-15}
a_c \approx 2{,}7\times10^{27}\ \text{m/s}^2

a_c \approx 2{,}7\times10^{27}\ \text{m/s}^2

d) A energia emitida como radiação \gamma é a energia rotacional perdida no intervalo, ou seja, E = E_R(2) - E_R(8):

E = \frac{1}{2} I\left(\omega_2^2-\omega_8^2\right)

Os quadrados valem \omega_2^2 \approx 7{,}35\times10^{41} e \omega_8^2 \approx 4{,}44\times10^{41} (em \text{rad}^2/\text{s}^2). Então:

E = \frac{1}{2}\cdot 12\times10^{-55}\cdot (7{,}35-4{,}44)\times10^{41} = 6\times10^{-55}\cdot 2{,}9\times10^{41}
E \approx 1{,}7\times10^{-13}\ \text{J}

E \approx 1{,}7\times10^{-13}\ \text{J}

Assuntos: movimento circular, energia cinética de rotação, leitura de gráficos.

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