Questão 6 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2018
Uma cerca tem formato de um polígono regular de n lados, cada lado com comprimento l. A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento l, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:
a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;
b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.
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Resolução comentada
a) Com a corda presa a um vértice, Estrela cobre um setor circular de raio l. A corda não consegue contornar os vértices vizinhos, porque o lado adjacente já tem comprimento l e não sobra corda depois dele.
O ângulo interno do polígono regular é
O setor disponível, no exterior, tem ângulo
A área do setor é \frac12\,\theta\, l^2, logo
Resposta: \dfrac{(n+2)\pi l^2}{2n}
b) Agora a região é o conjunto dos pontos exteriores que ficam a distância de no máximo l do perímetro. Como o polígono é convexo, essa região se divide em duas partes:
- Em cada lado, um retângulo l\times l, que a corda varre ao ficar perpendicular ao lado. São n retângulos, com área total n\,l^2.
- Em cada vértice, um setor circular de raio l, que preenche o espaço entre dois retângulos vizinhos. Cada setor tem ângulo igual ao ângulo externo, \frac{2\pi}{n}. A soma dos n setores é um círculo completo de raio l, com área \pi l^2.
As peças não se sobrepõem. A área total é
Resposta: (n+\pi)\,l^2
Assuntos: geometria plana, áreas de setores circulares, polígonos regulares.
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