Questão 7 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2018

2º dia · Matemática

Em um torneio de xadrez, há 2n participantes.

a) Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função de n, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?

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Resolução comentada

a) Queremos dividir 2n jogadores em n pares não ordenados, e a ordem dos pares não importa.\n\nO jogador de menor número (qualquer um fixo) pode ser emparceirado com 2n-1 adversários. Fixado o par dele, sobram 2n-2 jogadores, e o próximo jogador ainda sem par tem 2n-3 opções, e assim por diante:\n\n

(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1
\n\nOutra forma de contar: ordenando os 2n jogadores de (2n)! modos e agrupando de dois em dois, divide-se por 2^n (ordem dentro de cada par) e por n! (ordem dos pares):\n\n
\frac{(2n)!}{2^n\\, n!}
\n\nAs duas expressões são iguais.\n\nResposta: \dfrac{(2n)!}{2^n\\,n!}=(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1.\n\nb) O total de emparceiramentos possíveis para 12 jogadores (n=6) é\n\n
\frac{12!}{2^6\cdot 6!}=11\cdot 9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=10\\,395.
\n\nPara só haver confrontos entre pessoas do mesmo sexo, os 6 homens são emparceirados entre si e as 6 mulheres entre si. Para 6 pessoas (n=3), o número de emparceiramentos é 5\cdot 3\cdot 1=15. Logo, os casos favoráveis são 15\cdot 15=225.\n\nA probabilidade é\n\n
\frac{225}{10\\,395}=\frac{5}{231}.
\n\n(Dividindo por 45: 225/45=5 e 10\\,395/45=231.)\n\nResposta: \dfrac{5}{231}\approx 2{,}2\\%.

Assuntos: análise combinatória, probabilidade.

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