Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2018

Question

No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A = (5,0), B = (8,0),\ C = (5,5), e a reta de equação y = \alpha x, 0 < \alpha < 1. Seja f(\alpha) a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta y = \alpha x com a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.

Plano cartesiano com eixos x e y e origem O. O triângulo ABC tem A e B sobre o eixo x, com A à esquerda de B, e C acima de A, no segmento vertical AC. A reta y = αx passa pela origem e encontra AC em D. O segmento horizontal DE liga D ao ponto E do lado CB. O trapézio ABED está sombreado em cinza.

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de \alpha.

b) Expresse f(\alpha) e esboce o gráfico da função f.

Answer 1

Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2018

2º dia · Matemática

No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A = (5,0), B = (8,0),\ C = (5,5), e a reta de equação y = \alpha x, 0 < \alpha < 1. Seja f(\alpha) a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta y = \alpha x com a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.

Plano cartesiano com eixos x e y e origem O. O triângulo ABC tem A e B sobre o eixo x, com A à esquerda de B, e C acima de A, no segmento vertical AC. A reta y = αx passa pela origem e encontra AC em D. O segmento horizontal DE liga D ao ponto E do lado CB. O trapézio ABED está sombreado em cinza.

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de \alpha.

b) Expresse f(\alpha) e esboce o gráfico da função f.

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Resolução comentada

a) O ponto D está em x=5 sobre a reta y=\alpha x, então D=(5,5\alpha). Como 0<\alpha<1, temos 0<5\alpha<5, ou seja, D está entre A e C.

A reta CB passa por C=(5,5) e B=(8,0), com coeficiente angular \frac{0-5}{8-5}=-\frac{5}{3}:

y-5=-\frac{5}{3}(x-5)\ \Rightarrow\ x=8-\frac{3y}{5}.

E tem a mesma ordenada de D, y=5\alpha, então

x_E=8-\frac{3\cdot 5\alpha}{5}=8-3\alpha.

Como x_D=5:

DE=x_E-x_D=8-3\alpha-5=3-3\alpha.

DE=3(1-\alpha)

b) O trapézio ABED tem bases AB=3 e DE=3-3\alpha, paralelas ao eixo Ox, e altura AD=5\alpha.

f(\alpha)=\frac{(AB+DE)\cdot AD}{2}=\frac{(3+3-3\alpha)\cdot 5\alpha}{2}=\frac{15\alpha(2-\alpha)}{2}.

Logo

f(\alpha)=15\alpha-\frac{15}{2}\alpha^2,\quad 0<\alpha<1.

Esboço: é um arco de parábola com concavidade para baixo e vértice em \alpha=1, onde f(1)=\frac{15}{2}, que é a área do triângulo ABC (ponto em que D coincide com C). Passa por (0,0) (extremo excluído, pois \alpha>0). Em \alpha=\frac12, f=\frac{15\cdot\frac12\cdot\frac32}{2}=\frac{45}{8}. Portanto o gráfico é crescente de (0,0) até \left(1,\frac{15}{2}\right), com a curvatura voltada para baixo, e os extremos (0,0) e (1,\frac{15}{2}) não pertencem ao gráfico, pois 0<\alpha<1.

f(\alpha)=\dfrac{15\alpha(2-\alpha)}{2}, para 0<\alpha<1; gráfico: arco de parábola crescente, côncavo para baixo, de (0,0) a (1,15/2).

Assuntos: geometria analítica, área de trapézio, função quadrática.

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Questão 5 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2018