Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Matemática

Considere a função f_a:[0,1]\to[0,1] que depende de um parâmetro a\in]1,2], dada por

f_a(x)=\begin{cases}ax, & \text{se }0\leq x\leq\dfrac{1}{2},\\ a(1-x), & \text{se }\dfrac{1}{2}\leq x\leq 1.\end{cases}

Sabe-se que existe um único ponto p_a\in\left]\dfrac{1}{2},1\right[ tal que f_a(p_a)=p_a. Na figura a seguir, estão esboçados os gráfico de f_a e a reta de equação y=x.

Gráfico em eixos cartesianos x e y. O gráfico de f_a é formado pelos segmentos que ligam (0,0) a (1/2,a/2) e (1/2,a/2) a (1,0). A reta y=x passa pela origem e intersecta o segmento decrescente em (p_a,p_a). No eixo x estão indicados 0, 1/2, p_a e 1; no eixo y, p_a, a/2 e 1. Linhas tracejadas horizontais e verticais assinalam as coordenadas do vértice (1/2,a/2), da interseção (p_a,p_a) e do ponto (1,1) da reta.

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

b) Mostre que f_a\left(f_a\left(\frac{1}{2}\right)\right)<\frac{1}{2} para todo a\in]1,2].

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a\in]1,2] tal que f_a\left(f_a\left(f_a\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)=p_a, em que p_a é o ponto encontrado no item a).

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Resolução comentada

a) O ponto fixo p_a está no trecho decrescente, onde f_a(x)=a(1-x). Impondo f_a(p_a)=p_a:

a(1-p_a)=p_a \Rightarrow a=p_a(1+a)\Rightarrow p_a=\frac{a}{1+a}.

p_a=\dfrac{a}{1+a}

b) Primeiro, f_a\left(\frac12\right)=\frac a2. Como a\in]1,2], temos \frac a2\in\left]\frac12,1\right], ou seja, \frac a2 está no trecho decrescente. Então:

f_a\left(f_a\left(\tfrac12\right)\right)=f_a\left(\tfrac a2\right)=a\left(1-\tfrac a2\right)=a-\frac{a^2}{2}.

Queremos mostrar que a-\frac{a^2}{2}<\frac12. Multiplicando por 2 e passando tudo para um lado:

2a-a^2<1\iff a^2-2a+1>0\iff (a-1)^2>0.

Isso vale para todo a\neq 1, em particular para a\in]1,2]. Logo, f_a\left(f_a\left(\frac12\right)\right)<\frac12. Fica demonstrado.

c) Seja y=f_a\left(f_a\left(\frac12\right)\right)=a-\frac{a^2}{2}=\frac{a(2-a)}{2}. Para a\in]1,2], y\geq 0, e pelo item b), y<\frac12. Portanto y está no trecho crescente, onde f_a(y)=ay:

f_a(f_a(f_a(\tfrac12)))=a\cdot\frac{a(2-a)}{2}=\frac{a^2(2-a)}{2}.

Igualando a p_a=\frac{a}{1+a} e dividindo por a>0:

\frac{a(2-a)}{2}=\frac{1}{1+a}\Rightarrow a(2-a)(1+a)=2.

Desenvolvendo: 2a+a^2-a^3=2, ou seja,

a^3-a^2-2a+2=0\iff a^2(a-1)-2(a-1)=0\iff (a-1)(a^2-2)=0.

As raízes são a=1, a=\sqrt2 e a=-\sqrt2. Só a=\sqrt2 está em ]1,2].

a=\sqrt2

Assuntos: funções definidas por partes, ponto fixo, equação polinomial.

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