Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Matemática

Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}, \overline{BD} e \overline{CD}, respectivamente.

Desenho em perspectiva de um tetraedro regular ABCD com vértices da base A, B, C e vértice superior D. Estão indicados os pontos médios E sobre a aresta AB, F sobre BC, G sobre AC, H sobre BD e I sobre CD, unidos por segmentos de reta formando polígonos no interior do tetraedro.

a) Determine a área do triângulo EFH.

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.

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Resolução comentada

a) Os lados do triângulo EFH são bases médias de faces do tetraedro, e cada face é um triângulo equilátero de lado 6 cm.

  • EF é base média do triângulo ABC (paralela a AC): EF = 3 cm.
  • EH é base média do triângulo ABD (paralela a AD): EH = 3 cm.
  • FH é base média do triângulo BCD (paralela a CD): FH = 3 cm.

Logo EFH é equilátero de lado 3 cm:

A = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2

Área de EFH: \dfrac{9\sqrt3}{4}\ \text{cm}^2.

b) Aplicando bases médias nas faces:

  • EG \parallel BC e EG = 3 (triângulo ABC).
  • HI \parallel BC e HI = 3 (triângulo BCD).
  • EH \parallel AD e EH = 3 (triângulo ABD).
  • GI \parallel AD e GI = 3 (triângulo ACD).

Portanto EGIH é um paralelogramo com os quatro lados iguais a 3 cm, ou seja, um losango.

Num tetraedro regular, arestas opostas são ortogonais, então AD \perp BC. Como EG \parallel BC e EH \parallel AD, o ângulo em E é reto. Assim EGIH é um quadrado de lado 3 cm:

A = 3^2 = 9\ \text{cm}^2

Área de EGIH: 9\ \text{cm}^2.

c) A base é o quadrado EGIH, de área 9 cm². Falta a altura, que é a distância de F ao plano EGIH.

Esse plano é paralelo às retas AD e BC, pois contém EG \parallel BC e EH \parallel AD. Como F está em BC, a altura é a distância da reta BC ao plano.

A distância entre as arestas opostas AD e BC é a de um tetraedro regular de aresta a: \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2 cm. Isso equivale à distância entre dois planos paralelos, um contendo AD e outro contendo BC.

O plano EGIH passa pelo ponto médio E de AB. Como A está no primeiro plano e B no segundo, EGIH fica exatamente no meio dos dois. Logo:

h = \frac{3\sqrt2}{2}\ \text{cm}
V = \frac13\cdot 9\cdot\frac{3\sqrt2}{2} = \frac{9\sqrt2}{2}\ \text{cm}^3

Volume: \dfrac{9\sqrt2}{2}\ \text{cm}^3.

Assuntos: tetraedro regular, geometria espacial, base média.

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