Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Matemática

Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:

c(t) = 400 - k\log_3(at + 1),

em que t é dado em horas e c(t) é dado em \text{mg/L}. As constantes a e k são positivas.

a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0?

b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula.

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Resolução comentada

a) No instante inicial, t=0, então at+1=1 e \log_3 1=0. Logo:

c(0)=400-k\cdot 0=400

A concentração inicial é 400 mg/L.

b) Use as duas condições do enunciado.

  1. Em t=2, a concentração é metade da inicial, ou seja, 200:
    400-k\log_3(2a+1)=200 \Rightarrow k\log_3(2a+1)=200
  2. Em t=8, a concentração é nula:
    400-k\log_3(8a+1)=0 \Rightarrow k\log_3(8a+1)=400

Dividindo a segunda equação pela primeira, k se cancela:

\frac{\log_3(8a+1)}{\log_3(2a+1)}=2 \Rightarrow \log_3(8a+1)=2\log_3(2a+1)=\log_3(2a+1)^2

Como o logaritmo é injetor, os logaritmandos são iguais:

8a+1=4a^2+4a+1 \Rightarrow 4a^2-4a=0 \Rightarrow 4a(a-1)=0

Como a>0, temos a=1.

Substituindo na primeira equação: k\log_3 3=200, logo k=200.

Conferindo em t=8: 400-200\log_3 9=400-400=0, que confere.

a=1 e k=200 mg/L.

Assuntos: função logarítmica, equações logarítmicas.

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