Questão 14 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2017

Question

Um balão B sobe verticalmente com aceleração constante de 2\ \text{m/s}^2 a partir de um ponto A localizado no solo a 36 m de um observador O, que permanece em repouso no solo. A medida em radianos do ângulo de elevação do balão em relação ao observador no instante t é denotada por \theta(t).

Sabe-se que a massa do balão é de 90 kg.

Triângulo retângulo OAB: O representa o observador no solo, A é o ponto no solo situado à direita de O, e B representa o balão verticalmente acima de A. O segmento horizontal OA mede 36 m, o segmento AB é vertical e há uma marca de ângulo reto em A. O segmento inclinado OB forma com OA o ângulo de elevação θ(t), indicado junto a O.

a) Supondo que as forças que determinam o movimento do balão sejam o seu peso e o empuxo, calcule o volume do balão.

b) Suponha que, no instante t_0 = 0, o balão se encontre no ponto A e que sua velocidade seja nula. Determine a velocidade média do balão entre o instante t_1 em que \theta(t_1) = \frac{\pi}{4} e o instante t_2 em que \theta(t_2) = \frac{\pi}{3}.

Adote:
Aceleração da gravidade: 10\ \text{m/s}^2
Densidade do ar: 1{,}2\ \text{kg/m}^3

Answer 1

Questão 14 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2017

2º dia · Física

Um balão B sobe verticalmente com aceleração constante de 2\ \text{m/s}^2 a partir de um ponto A localizado no solo a 36 m de um observador O, que permanece em repouso no solo. A medida em radianos do ângulo de elevação do balão em relação ao observador no instante t é denotada por \theta(t).

Sabe-se que a massa do balão é de 90 kg.

Triângulo retângulo OAB: O representa o observador no solo, A é o ponto no solo situado à direita de O, e B representa o balão verticalmente acima de A. O segmento horizontal OA mede 36 m, o segmento AB é vertical e há uma marca de ângulo reto em A. O segmento inclinado OB forma com OA o ângulo de elevação θ(t), indicado junto a O.

a) Supondo que as forças que determinam o movimento do balão sejam o seu peso e o empuxo, calcule o volume do balão.

b) Suponha que, no instante t_0 = 0, o balão se encontre no ponto A e que sua velocidade seja nula. Determine a velocidade média do balão entre o instante t_1 em que \theta(t_1) = \frac{\pi}{4} e o instante t_2 em que \theta(t_2) = \frac{\pi}{3}.

Adote:
Aceleração da gravidade: 10\ \text{m/s}^2
Densidade do ar: 1{,}2\ \text{kg/m}^3

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Resolução comentada

a) Sobre o balão atuam apenas o empuxo E (para cima) e o peso P (para baixo). Pela segunda lei de Newton, com a = 2\ \text{m/s}^2 para cima:

E - mg = ma \Rightarrow E = m(g+a) = 90\cdot 12 = 1080\ \text{N}

O empuxo é o peso do ar deslocado: E = \rho_{ar}\, V\, g. Logo:

V = \frac{E}{\rho_{ar}\, g} = \frac{1080}{1{,}2\cdot 10} = 90\ \text{m}^3

Volume do balão: 90\ \text{m}^3.

b) O balão parte do repouso em A com aceleração constante, então a altura é h(t)=\dfrac{2t^2}{2}=t^2 (em metros).

No triângulo OAB, \tg\theta = \dfrac{h}{36}, ou seja, h = 36\,\tg\theta.

Para \theta = \pi/4: h_1 = 36\cdot 1 = 36\ \text{m}, então t_1^2 = 36 e t_1 = 6\ \text{s}.
Para \theta = \pi/3: h_2 = 36\sqrt{3}\ \text{m}, então t_2 = \sqrt{36\sqrt3} = 6\sqrt[4]{3}\ \text{s}.

A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:

v_m = \frac{h_2-h_1}{t_2-t_1} = \frac{36(\sqrt3-1)}{6(\sqrt[4]{3}-1)} = \frac{6(\sqrt3-1)}{\sqrt[4]{3}-1}

Como \sqrt3-1 = (\sqrt[4]{3}-1)(\sqrt[4]{3}+1), simplifica-se:

v_m = 6\left(\sqrt[4]{3}+1\right)\ \text{m/s} \approx 6\cdot 2{,}316 \approx 13{,}9\ \text{m/s}

Velocidade média: 6(\sqrt[4]{3}+1)\ \text{m/s} \approx 13{,}9\ \text{m/s}.

Assuntos: empuxo e segunda lei de newton, mhuv e trigonometria no triângulo retângulo.

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