Questão 13 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2017
Um caminhão deve transportar, em uma única viagem, dois materiais diferentes, X e Y, cujos volumes em \text{m}^3 são denotados por x e y, respectivamente. Sabe-se que todo o material transportado será vendido. A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na venda de cada um deles são dados na tabela a seguir.
| Material | Densidade | Lucro |
|---|---|---|
| X | 125\ \text{kg/m}^3 | R$ 120{,}00/\text{m}^3 |
| Y | 400\ \text{kg/m}^3 | R$ 240{,}00/\text{m}^3 |
Para realizar esse transporte, as seguintes restrições são impostas:
I. o volume total máximo de material transportado deve ser de 50\ \text{m}^3;
II. a massa total máxima de material transportado deve ser de 10 toneladas.
Considerando essas restrições:
a) esboce, no plano cartesiano preparado na página de respostas, a região correspondente aos pares (x, y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhão;
b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10\ \text{m}^3, determine a quantidade de material X que deve ser transportada para que o lucro total seja máximo;
c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36\ \text{m}^3, determine o par (x, y) que maximiza o lucro total.
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Resolução comentada
a) As restrições são x\ge 0, y\ge 0 e:
I. x+y\le 50
II. 125x+400y\le 10000, ou seja, dividindo por 25, 5x+16y\le 400.
As retas se cruzam em: y=50-x \Rightarrow 5x+800-16x=400 \Rightarrow x=\frac{400}{11} e y=\frac{150}{11}, ou seja, \left(\frac{400}{11},\frac{150}{11}\right)\approx(36{,}4;\,13{,}6).
Os vértices da região são:
- (0,0);
- (50,0), onde a reta I corta o eixo x (a reta II corta o eixo x em x=80, fora da região);
- \left(\frac{400}{11},\frac{150}{11}\right);
- (0,25), onde a reta II corta o eixo y (a reta I corta o eixo y em y=50, fora da região).
A região é o quadrilátero com esses vértices: está no primeiro quadrante, abaixo da reta I para x\ge \frac{400}{11} e abaixo da reta II para x\le \frac{400}{11}.
Quadrilátero de vértices (0,0), (50,0), \left(\frac{400}{11},\frac{150}{11}\right) e (0,25).
b) O lucro é L=120x+240y. Com y=10, as restrições ficam:
I. x\le 40
II. 5x+160\le 400 \Rightarrow x\le 48
A mais restritiva é x\le 40. Como L cresce com x, o máximo ocorre em x=40. O lucro é L=4800+2400=7200.
x=40\ \text{m}^3 (lucro de R$ 7.200,00).
c) Com x+y=36, temos y=36-x. Pela restrição II:
Além disso, y\ge 0 dá x\le 36.
O lucro é L=120x+240(36-x)=8640-120x, que decresce com x. O máximo ocorre no menor x possível, x=16, com y=20.
Conferindo a massa: 125\cdot16+400\cdot20=2000+8000=10000\ \text{kg}, que está no limite. O lucro é 8640-1920=\text{R\$ }6.720{,}00.
(x,y)=(16,\,20).
Assuntos: programação linear, inequações no plano, otimização.
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