Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2016
A figura abaixo representa o gráfico de uma função f: [-5, 5] \to \mathbb{R}. Note que f(-5) = f(2) = 0. A restrição de f ao intervalo [-5, 0] tem como gráfico parte de uma parábola com vértice no ponto (-2, -3); restrita ao intervalo [0, 5], f tem como gráfico um segmento de reta.
![Gráfico da função f em um plano cartesiano quadriculado, com eixos x e y e marcações de −5 a 5 no eixo x e de −4 a 4 no eixo y. No intervalo [−5, 0], o gráfico é um arco de parábola com concavidade voltada para cima, vértice em (−2, −3) e passando por (−5, 0). No intervalo [0, 5], o gráfico é um segmento de reta crescente que passa por (2, 0) e termina em (5; 2,5).](/media/questions/11704/F2.png "F2")
a) Calcule f(-1) e f(3).
Usando os sistemas de eixos da folha de respostas, esboce
b) o gráfico de g(x) = |f(x)|, x \in [-5, 5];
c) o gráfico de h(x) = f(|x|), x \in [-5, 5].
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Resolução comentada
a) Na parte parabólica, o vértice é (-2,-3), então f(x)=a(x+2)^2-3 para x\in[-5,0]. Como f(-5)=0:
Logo f(-1)=\frac13(1)^2-3=-\frac83.
Na parte reta, o segmento passa por (2,0) e (5;2{,}5). O coeficiente angular é \frac{2{,}5}{3}=\frac56, então f(x)=\frac56(x-2) e f(3)=\frac56.
Conferência: em x=0 a parábola dá \frac43-3=-\frac53 e a reta dá \frac56(-2)=-\frac53. Os dois trechos se encontram no mesmo ponto.
Resposta: f(-1)=-\frac83 e f(3)=\frac56.
b) Para obter g=|f|, mantemos as partes do gráfico em que f\ge 0 e refletimos em relação ao eixo x as partes em que f<0. A função f é negativa em (-5,2) e positiva em (2,5].
- Em [-5,0]: g(x)=-f(x)=3-\frac13(x+2)^2. É um arco de parábola com concavidade para baixo, vértice em (-2,3), que vai de (-5,0) até (0,\frac53).
- Em [0,2]: g(x)=-\frac56(x-2). É um segmento de (0,\frac53) até (2,0).
- Em [2,5]: g(x)=\frac56(x-2). É um segmento de (2,0) até (5;2{,}5), igual ao de f.
O gráfico toca o eixo x em x=-5 e em x=2, e fica sempre acima ou sobre o eixo.
Resposta: gráfico descrito acima, com pontos principais (-5,0), (-2,3), (0,\frac53), (2,0) e (5;2{,}5).
c) Para x\ge0, |x|=x e então h(x)=f(x): o segmento de (0,-\frac53) a (2,0) e depois até (5;2{,}5).
Para x<0, h(x)=f(-x). A função h é par, então o gráfico à esquerda é o reflexo do da direita em relação ao eixo y. Esse reflexo é o segmento de (-5;2{,}5) a (-2,0) e depois até (0,-\frac53).
A parte parabólica de f não aparece em h. O gráfico tem formato de "V" aberto, com vértice em (0,-\frac53), e corta o eixo x em x=\pm2.
Resposta: gráfico simétrico em relação ao eixo y, formado por dois segmentos, com pontos (-5;2{,}5), (-2,0), (0,-\frac53), (2,0) e (5;2{,}5).
Assuntos: função quadrática, módulo de função, transformações de gráficos.
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