Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2016

3º dia · Matemática

As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade

\frac{1}{(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 4)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Dx + C}{x^2 + 4}

é válida para todo x \in \mathbb{R}.

a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D.

b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

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Resolução comentada

a) Multiplicando os dois lados por (x^2+2x+2)(x^2+4), que nunca se anula em \mathbb{R}, obtemos uma igualdade entre polinômios:

1=(Ax+B)(x^2+4)+(Dx+C)(x^2+2x+2)

Desenvolvendo:

1=(A+D)x^3+(B+2D+C)x^2+(4A+2D+2C)x+(4B+2C)

Como a igualdade vale para todo x real, os coeficientes de mesmo grau são iguais. O polinômio da esquerda é 0x^3+0x^2+0x+1. Logo:

\begin{cases}A+D=0\\ B+C+2D=0\\ 4A+2C+2D=0\\ 4B+2C=1\end{cases}

Sistema: A+D=0, B+C+2D=0, 4A+2C+2D=0, 4B+2C=1.

b) Resolvendo por substituição:

  1. Da 1ª equação, D=-A.
  2. Na 3ª: 4A+2C-2A=0, ou seja, 2A+2C=0, então C=-A.
  3. Na 2ª: B-A-2A=0, então B=3A.
  4. Na 4ª: 12A-2A=1, então 10A=1 e A=\frac{1}{10}.

Portanto B=\frac{3}{10}, C=-\frac{1}{10} e D=-\frac{1}{10}.

Conferência em x=0: o lado esquerdo vale \frac{1}{8}. O lado direito vale \frac{B}{2}+\frac{C}{4}=\frac{3}{20}-\frac{1}{40}=\frac{5}{40}=\frac18. ✓

A=\frac{1}{10}, B=\frac{3}{10}, C=-\frac{1}{10}, D=-\frac{1}{10}.

Assuntos: frações parciais, identidade de polinômios, sistemas lineares.

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