Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2016

3º dia · Matemática

No plano cartesiano Oxy, a circunferência \mathcal{C} tem centro no ponto P = (2, 1), e a reta t é tangente a \mathcal{C} no ponto Q = (-1, 5).

a) Determine o raio da circunferência \mathcal{C}.

b) Encontre uma equação para a reta t.

c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo Ox.

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Resolução comentada

a) O raio é a distância entre o centro P=(2,1) e o ponto de tangência Q=(-1,5), que pertence à circunferência:

r = PQ = \sqrt{(-1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5.

5

b) A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Portanto t \perp PQ.

O coeficiente angular de PQ é \dfrac{5-1}{-1-2}=-\dfrac{4}{3}. Logo o de t é o inverso do oposto, \dfrac{3}{4}.

A reta t passa por Q=(-1,5):

y-5=\frac{3}{4}(x+1)\;\Rightarrow\;4y-20=3x+3\;\Rightarrow\;3x-4y+23=0.

t: 3x-4y+23=0, ou seja, y=\dfrac{3x+23}{4}

c) Fazendo y=0 em t: 3x+23=0, então x=-\dfrac{23}{3} e R=\left(-\dfrac{23}{3},0\right).

Como t\perp PQ, o triângulo PQR é retângulo em Q. Os catetos são PQ=5 e QR:

QR=\sqrt{\left(-\frac{23}{3}+1\right)^2+(0-5)^2}=\sqrt{\frac{400}{9}+25}=\sqrt{\frac{625}{9}}=\frac{25}{3}.

A área é

A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{6}.

Pela fórmula do determinante, com \overrightarrow{PQ}=(-3,4) e \overrightarrow{PR}=\left(-\frac{29}{3},-1\right), o produto vetorial vale 3+\frac{116}{3}=\frac{125}{3}, cuja metade também dá \frac{125}{6}.

Área =\dfrac{125}{6}

Assuntos: geometria analítica, circunferência e reta tangente, área de triângulo.

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