Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2016
João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedros regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma.
Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa.
a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12?
b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5?
Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados.
c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?
| Poliedros regulares | |
|---|---|
| Tetraedro | 4 faces |
| Cubo | 6 faces |
| Octaedro | 8 faces |
| Dodecaedro | 12 faces |
| Icosaedro | 20 faces |
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Resolução comentada
a) Os números maiores que 12 só existem no icosaedro, que vai de 1 a 20. São as faces 13, 14, ..., 20, ou seja, 8 faces das 20.
A probabilidade de sortear o icosaedro é \frac{1}{5}, e a de obter uma dessas faces ao lançá-lo é \frac{8}{20}=\frac{2}{5}.
Resposta: \dfrac{2}{25} (8%).
b) Aqui usamos a probabilidade total: cada dado é sorteado com probabilidade \frac15. Em cada dado, contamos as faces com número menor que 5, isto é, 1, 2, 3 e 4. Todos os dados têm pelo menos 4 faces.
- Tetraedro: \frac{4}{4}=1
- Cubo: \frac{4}{6}=\frac{2}{3}
- Octaedro: \frac{4}{8}=\frac{1}{2}
- Dodecaedro: \frac{4}{12}=\frac{1}{3}
- Icosaedro: \frac{4}{20}=\frac{1}{5}
A soma é 1+\frac23+\frac12+\frac13+\frac15=\frac{27}{10}.
Resposta: \dfrac{27}{50} (54%).
c) Há \binom{5}{2}=10 pares possíveis de dados, todos igualmente prováveis.
Para a soma passar de 30, precisamos dos dois maiores dados. O melhor par sem eles é icosaedro e octaedro, com soma máxima 20+8=28. Já o par icosaedro e dodecaedro chega a 20+12=32. Portanto, só esse par serve.
No par icosaedro e dodecaedro há 20\cdot12=240 resultados possíveis. Os que dão soma maior que 30 são:
- 20+12=32
- 20+11=31
- 19+12=31
A probabilidade de sortear esse par é \frac1{10}, e a de a soma superar 30 é \frac{3}{240}=\frac1{80}.
Resposta: \dfrac{1}{800}.
Assuntos: probabilidade, probabilidade total, combinações.
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