Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2016
Considere as funções f e g definidas por
a) Calcule f\left(\dfrac{3}{2}\right), f(2), f(3), g(-4), g(0) e g(2).
b) Encontre x, 1 < x < 4, tal que f(x) = g(x).
c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano impresso na página de resposta.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Basta substituir e usar \log_2 2^k = k.
- f\left(\tfrac32\right)=2\log_2\left(\tfrac12\right)=2\cdot(-1)=-2
- f(2)=2\log_2 1=0
- f(3)=2\log_2 2=2
- g(-4)=\log_2(1+1)=1
- g(0)=\log_2 1=0
- g(2)=\log_2\left(\tfrac12\right)=-1
Resposta: f(3/2)=-2, f(2)=0, f(3)=2, g(-4)=1, g(0)=0, g(2)=-1.
b) Em 1<x<4 os dois logaritmandos são positivos. Usando 2\log_2(x-1)=\log_2(x-1)^2, a igualdade f(x)=g(x) fica
Como \log_2 é injetora, igualamos os logaritmandos:
- (x-1)^2=1-\dfrac{x}{4}
- x^2-2x+1=1-\dfrac{x}{4}
- x^2-\dfrac{7x}{4}=0 \Rightarrow x\left(x-\dfrac74\right)=0
As raízes são x=0 e x=\tfrac74. Só x=\tfrac74 está em (1,4).
Conferindo: f\left(\tfrac74\right)=2\log_2\tfrac34 e g\left(\tfrac74\right)=\log_2\tfrac{9}{16}=2\log_2\tfrac34. Os valores coincidem, e ambos valem aproximadamente -0{,}83.
Resposta: x=\dfrac74.
c) Use os pontos dos itens anteriores e o comportamento de cada função.
- Gráfico de f: a reta x=1 é assíntota vertical, e f\to-\infty quando x\to1^+. A função é crescente e passa por \left(\tfrac32,-2\right), (2,0) e (3,2). Pelo item b, passa também por \left(\tfrac74,\,\approx-0{,}83\right).
- Gráfico de g: a reta x=4 é assíntota vertical, e g\to-\infty quando x\to4^-. A função é decrescente e passa por (-4,1), (0,0) e (2,-1). Também passa por \left(\tfrac74,\,\approx-0{,}83\right). Para x\to-\infty, g cresce sem limite.
Os dois gráficos se cruzam em um único ponto, \left(\tfrac74,\,\log_2\tfrac9{16}\right). À esquerda desse ponto, em 1<x<\tfrac74, g está acima de f. À direita, f está acima de g. O gráfico de f corta o eixo x em (2,0) e o de g corta em (0,0).
Resposta: f é uma curva crescente com assíntota em x=1, g é uma curva decrescente com assíntota em x=4, e elas se cruzam em x=\tfrac74.
Assuntos: funções logarítmicas, equações logarítmicas, gráficos de funções.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
