Questão 9 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2016
Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de \theta a medida do ângulo Q\bar{P}R.
a) Para qual valor de \theta, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro \overline{PQ}?
b) Para qual valor de \theta, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a \overline{PQ}?
c) Supondo agora que 30^\circ < \theta < 60^\circ, encontre uma expressão, em função de \theta, para a medida \alpha do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.
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Resolução comentada
Preparação. Seja O o centro da mesa. O triângulo POR é isósceles (OP=OR), então \angle ORP=\theta. A reflexão elástica faz o ângulo de incidência igual ao de reflexão em relação à normal, que é o raio OR. Logo a trajetória refletida forma com RO o mesmo ângulo \theta, do outro lado da normal.
O ângulo central é \angle POR = 180^\circ-2\theta, e portanto \angle ROQ = 2\theta (ângulo externo do triângulo POR).
a) A trajetória refletida passa a ser a reta RS, com \angle ORS=\theta. Ela é paralela a PQ quando os ângulos alternos internos são iguais: \angle ORS=\angle ROQ, isto é, \theta = 2\theta?? Isso não vale; é preciso cuidar do sentido. Por isso usamos direções.
A direção de PR forma \theta com PQ. Ao refletir em R, a direção da trajetória gira 180^\circ-2\beta, onde \beta=\theta é o ângulo com a normal. Tomando PQ como eixo x, a direção inicial é \theta e a reta refletida tem direção
Verificando melhor: a normal em R tem direção 2\theta (reta OR, com \angle ROQ=2\theta). Refletir a direção \theta em relação à reta normal de direção 2\theta dá, no sentido do movimento, a direção 2\cdot 2\theta-\theta+180^\circ = 3\theta+180^\circ.
A trajetória após a reflexão tem direção 3\theta+180^\circ, ou seja, a reta forma com PQ o ângulo 3\theta (módulo 180^\circ).
Paralela a PQ: 3\theta=180^\circ k. Com 0<\theta<90^\circ, 3\theta=180^\circ, então \theta=60^\circ.
Resposta: \theta=60^\circ.
b) Perpendicular a PQ: 3\theta=90^\circ (ou 270^\circ, que dá \theta=90^\circ, impossível, pois R coincidiria com Q... a bola iria até Q pelo diâmetro). Então \theta=30^\circ.
Resposta: \theta=30^\circ.
c) Com 30^\circ<\theta<60^\circ temos 90^\circ<3\theta<180^\circ. A reta refletida forma com PQ um ângulo de 3\theta, que é obtuso; o ângulo agudo entre as retas é o suplemento:
Conferindo: \theta=45^\circ dá \alpha=45^\circ (a bola vai de P a R no topo e volta em direção ao ponto inferior de modo simétrico, coerente). Em \theta=30^\circ, \alpha=90^\circ e em \theta=60^\circ, \alpha=0^\circ, coerente com os itens anteriores.
Resposta: \alpha=180^\circ-3\theta.
Assuntos: geometria plana, ângulos na circunferência, reflexão.
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