Questão 10 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2016
Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade.
a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.
| Note e adote: |
|---|
| \cos 56^\circ = 0{,}56; \sen 56^\circ = 0{,}83; \cos 16^\circ = 0{,}96; \sen 16^\circ = 0{,}28 |
| Latitude e longitude de Brasília: 16^\circ\text{S} e 48^\circ\text{W} |
| Latitude e longitude de Moscou: 56^\circ\text{N} e 37^\circ\text{E} |
| Raio da Terra: 6.400\text{ km} |
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Resolução comentada
a) Os dois aviões percorrem um trecho de meridiano e um trecho de paralelo, e a diferença de longitude entre as cidades é a mesma nos dois casos.
A diferença de latitude é 56^\circ + 16^\circ = 72^\circ. Os trechos de meridiano são então iguais nos dois trajetos: R\cdot 72^\circ em radianos.
A diferença de longitude é 37^\circ + 48^\circ = 85^\circ. Ela é percorrida ao longo de um paralelo, que é uma circunferência de raio R\cos\varphi.
- O avião 1 percorre 85^\circ no paralelo de 56^\circ\text{N}, de raio R\cos 56^\circ = 0{,}56R.
- O avião 2 percorre 85^\circ no paralelo de 16^\circ\text{S}, de raio R\cos 16^\circ = 0{,}96R.
Como \cos 16^\circ > \cos 56^\circ, o paralelo de 16^\circ tem raio maior, e o mesmo ângulo de longitude dá um arco maior nele. Portanto, o avião 2, que voa primeiro para o leste, percorre a maior distância.
O avião 2 percorre a maior distância.
b) Como os trechos de meridiano se cancelam, a diferença vem só dos trechos de paralelo. O ângulo de 85^\circ vale \frac{85\pi}{180}=\frac{17\pi}{36}\approx 1{,}48\ \text{rad}.
Diferença de aproximadamente 3{,}8\times10^3\ \text{km} (cerca de 3800 km), a favor do avião 2 ser mais longo.
Assuntos: geometria esférica, comprimento de arco, latitude e longitude.
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