Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2015
No cubo ABCDEFGH, representado na figura, na página de respostas, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por \theta o ângulo \widehat{BMH} e por x a medida do segmento \overline{AM}.
a) Exprima \cos\theta em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo \theta é obtuso?
c) Mostre que, se x = 4, então \theta mede menos do que 45^\circ.
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Resolução comentada
a) Coloque a origem em A, com B=(1,0,0), D=(0,1,0) e E=(0,0,1). Assim, H, que está acima de D, é H=(0,1,1). Como M está na semirreta AE e AM=x, temos M=(0,0,x) com x\ge 0.
O ângulo \theta=\widehat{BMH} é o ângulo entre os vetores \overrightarrow{MB} e \overrightarrow{MH}:
Produto escalar e módulos:
- \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MH}=-x(1-x)=x^2-x.
- |\overrightarrow{MB}|=\sqrt{1+x^2}.
- |\overrightarrow{MH}|=\sqrt{1+(1-x)^2}=\sqrt{x^2-2x+2}.
Como \cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MH}}{|\overrightarrow{MB}|\,|\overrightarrow{MH}|}:
\cos\theta=\dfrac{x(x-1)}{\sqrt{(x^2+1)(x^2-2x+2)}}
b) O ângulo é obtuso quando \cos\theta<0. O denominador é sempre positivo, pois x^2+1>0 e x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0. Então o sinal de \cos\theta é o de x(x-1).
Temos x(x-1)<0 exatamente para 0<x<1. Em x=0 (M = A) o cosseno é 0, e o ângulo é reto, não obtuso. Em x=1 (M = E) o cosseno também é 0.
0<x<1
c) Para x=4:
Queremos mostrar que \theta<45^\circ. Como o cosseno é decrescente em [0^\circ,90^\circ], isso equivale a \cos\theta>\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}. Comparando os quadrados, ambos positivos:
pois 144>85. Logo \cos\theta>\cos45^\circ e \theta<45^\circ.
Para x=4, \cos\theta=12/\sqrt{170}>\sqrt2/2, portanto \theta<45^\circ.
Assuntos: geometria analítica espacial, produto escalar, cubo.
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