Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2015
Resolva as inequações:
a) x^3 - x^2 - 6x > 0;
b) \log_2 (x^3 - x^2 - 6x) \le 2.
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Resolução comentada
a) Fatorando: x^3 - x^2 - 6x = x(x^2 - x - 6) = x(x-3)(x+2).
As raízes são -2, 0 e 3. O polinômio tem coeficiente líder positivo, então o sinal alterna a partir da direita: positivo para x>3, negativo em (0,3), positivo em (-2,0) e negativo para x<-2.
Como queremos >0:
Resposta: S=\{x\in\mathbb{R} \mid -2<x<0 \text{ ou } x>3\}.
b) Primeiro, a condição de existência do logaritmo: o logaritmando deve ser positivo, ou seja, x^3-x^2-6x>0. Pelo item (a), isso dá -2<x<0 ou x>3.
Como a base 2 é maior que 1, o logaritmo é crescente e a desigualdade se mantém:
Testando x=-1: -1-1+6-4=0, então -1 é raiz. Dividindo por (x+1):
As raízes de x^2-2x-4 são x=1\pm\sqrt5, isto é, 1-\sqrt5\approx-1{,}24 e 1+\sqrt5\approx3{,}24.
As raízes em ordem crescente são 1-\sqrt5<-1<1+\sqrt5. Com coeficiente líder positivo, o polinômio é \le 0 para x\le 1-\sqrt5 ou para -1\le x\le 1+\sqrt5.
Intersectando com o domínio (-2<x<0 ou x>3):
- em (-2,0): -2<x\le 1-\sqrt5 ou -1\le x<0;
- em (3,\infty): 3<x\le 1+\sqrt5.
Resposta: S=\{x\in\mathbb{R} \mid -2<x\le 1-\sqrt5 \text{ ou } -1\le x<0 \text{ ou } 3<x\le 1+\sqrt5\}.
Assuntos: inequações polinomiais, logaritmos.
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