Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2015

Question

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado \overline{BC} do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta \overleftrightarrow{AB} no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo \widehat{ACO} é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado \overline{AB} do triângulo ABC;

b) a medida do segmento \overline{CO}.

Answer 1

Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2015

3º dia · Matemática

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado \overline{BC} do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta \overleftrightarrow{AB} no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo \widehat{ACO} é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado \overline{AB} do triângulo ABC;

b) a medida do segmento \overline{CO}.

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Resolução comentada

a) Como BC é tangente à circunferência em D, o raio OD é perpendicular a BC. Os pontos A, D, O são colineares, logo AD \perp BC. Se O estivesse entre A e D, teríamos AO = r e A estaria sobre a circunferência, caso degenerado. Então D fica entre A e O, e

AO = AD + DO = 2r + r = 3r.

Seja \alpha = \widehat{BAD}. Como AB é tangente em E, OE \perp AE, e o triângulo AEO é retângulo em E com OE = r e hipotenusa AO = 3r. O ângulo \widehat{EAO} é o próprio \alpha, porque B está na reta AE e D está na reta AO. Assim:

\sen\alpha = \frac{r}{3r} = \frac13 \;\Rightarrow\; \cos\alpha = \sqrt{1-\tfrac19} = \frac{2\sqrt2}{3}.

No triângulo ABD, retângulo em D, com AD = 2r:

AB = \frac{AD}{\cos\alpha} = \frac{2r}{2\sqrt2/3} = \frac{3r}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}\,r.

Confirmação: AE = \sqrt{9r^2 - r^2} = 2\sqrt2\,r \approx 2{,}83r > AB \approx 2{,}12r, então B está de fato entre A e E.

AB = \dfrac{3\sqrt2}{2}\,r

b) No triângulo ACO, retângulo em C, a hipotenusa é AO = 3r. Como CD \perp AO (pois BC \perp AD), CD é a altura relativa à hipotenusa, e D divide AO em AD = 2r e DO = r.

Pela relação métrica do cateto com a projeção:

CO^2 = DO \cdot AO = r \cdot 3r = 3r^2 \;\Rightarrow\; CO = \sqrt3\,r.

Confirmação: CD^2 = AD\cdot DO = 2r^2, e CO^2 = CD^2 + DO^2 = 2r^2 + r^2 = 3r^2.

CO = \sqrt3\,r

Assuntos: geometria plana, relações métricas no triângulo retângulo, tangência de circunferência.

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