Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2014
Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou-se uma balança de dois pratos. Verificou-se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:
i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo P_A, P_B e P_R, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine
a) os quocientes \dfrac{P_A}{P_B} e \dfrac{P_R}{P_B} ;
b) o número n_A de bolas azuis e o número n_B de bolas brancas no recipiente.
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Resolução comentada
a) O recipiente com as bolas pesa P_R + n_A P_A + n_B P_B. Pelas três pesagens, esse peso é igual a 16P_B, a 10P_B + 5P_A e a 4P_R:
Da igualdade 16P_B = 10P_B + 5P_A sai 6P_B = 5P_A, logo
Da igualdade 16P_B = 4P_R sai P_R = 4P_B, logo
\dfrac{P_A}{P_B} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2 e \dfrac{P_R}{P_B} = 4.
b) Substituindo P_R = 4P_B e P_A = \frac{6}{5}P_B na primeira igualdade e dividindo por P_B:
Como 5n_B e 60 são múltiplos de 5, 6n_A também é, então n_A é múltiplo de 5. Pelo enunciado, n_A \ge 1 e n_B \ge 1.
- n_A = 5 dá 5n_B = 30, ou seja, n_B = 6.
- n_A = 10 dá n_B = 0, que não serve, pois há pelo menos uma bola de cada cor.
Verificação: 4 + \frac{6}{5}\cdot 5 + 6 = 4 + 6 + 6 = 16. ✓
n_A = 5 bolas azuis e n_B = 6 bolas brancas.
Assuntos: sistemas lineares, equação diofantina, razão e proporção.
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