Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Considere o triângulo equilátero \Delta A_0OB_0 de lado 7\text{cm}.

a) Sendo A_1 o ponto médio do segmento \overline{A_0B_0}, e B_1 o ponto simétrico de A_1 em relação à reta determinada por O e B_0, determine o comprimento de \overline{OB_1}.

b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo \Delta A_1OB_1, pode-se obter o triângulo \Delta A_2OB_2 tal que A_2 é o ponto médio do segmento \overline{A_1B_1}, e B_2 o ponto simétrico de A_2 em relação à reta determinada por O e B_1. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo \Delta A_3OB_3. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos \Delta A_nOB_n tais que, para todo n \geq 1, A_n é o ponto médio de \overline{A_{n-1}B_{n-1}}, e B_n, o ponto simétrico de A_n em relação à reta determinada por O e B_{n-1}, conforme figura ao lado.

Denotando por a_n, para n \geq 1, o comprimento do segmento \overline{A_{n-1}A_n}, verifique que a_1, a_2, a_3, \ldots é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

Diagrama dos triângulos A₀OB₀, A₁OB₁ e A₂OB₂. A₀, A₁ e B₀ estão alinhados horizontalmente, com A₁ entre A₀ e B₀, e O está acima de A₁. Estão traçados os segmentos OA₀, OB₀, OA₁, OB₁, A₁B₁, OB₂ e A₂B₂; A₂ está na interseção de OB₀ com A₁B₁. B₁ está à direita de A₂, e B₂ está acima de B₁, na mesma altura de O. A legenda diz: “Figura obtida após aplicar o procedimento duas vezes.”

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A_0A_1A_2\ ...\ A_n, n \geq 1.

O ponto P' é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento \overline{PP'} é perpendicular à reta r e a interseção de \overline{PP'} e r é o ponto médio de \overline{PP'}.

Answer 1

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Matemática

Considere o triângulo equilátero \Delta A_0OB_0 de lado 7\text{cm}.

a) Sendo A_1 o ponto médio do segmento \overline{A_0B_0}, e B_1 o ponto simétrico de A_1 em relação à reta determinada por O e B_0, determine o comprimento de \overline{OB_1}.

b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo \Delta A_1OB_1, pode-se obter o triângulo \Delta A_2OB_2 tal que A_2 é o ponto médio do segmento \overline{A_1B_1}, e B_2 o ponto simétrico de A_2 em relação à reta determinada por O e B_1. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo \Delta A_3OB_3. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos \Delta A_nOB_n tais que, para todo n \geq 1, A_n é o ponto médio de \overline{A_{n-1}B_{n-1}}, e B_n, o ponto simétrico de A_n em relação à reta determinada por O e B_{n-1}, conforme figura ao lado.

Denotando por a_n, para n \geq 1, o comprimento do segmento \overline{A_{n-1}A_n}, verifique que a_1, a_2, a_3, \ldots é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

Diagrama dos triângulos A₀OB₀, A₁OB₁ e A₂OB₂. A₀, A₁ e B₀ estão alinhados horizontalmente, com A₁ entre A₀ e B₀, e O está acima de A₁. Estão traçados os segmentos OA₀, OB₀, OA₁, OB₁, A₁B₁, OB₂ e A₂B₂; A₂ está na interseção de OB₀ com A₁B₁. B₁ está à direita de A₂, e B₂ está acima de B₁, na mesma altura de O. A legenda diz: “Figura obtida após aplicar o procedimento duas vezes.”

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A_0A_1A_2\ ...\ A_n, n \geq 1.

O ponto P' é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento \overline{PP'} é perpendicular à reta r e a interseção de \overline{PP'} e r é o ponto médio de \overline{PP'}.

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Resolução comentada

a) O triângulo A_0OB_0 é equilátero de lado 7. Logo OA_1 é a altura relativa a A_0B_0, e OA_1=\dfrac{7\sqrt3}{2}\ \text{cm}. Além disso, OA_1 é bissetriz do ângulo A_0\hat OB_0=60^\circ, então A_1\hat OB_0=30^\circ.

Como B_1 é o simétrico de A_1 em relação à reta OB_0, todo ponto da reta OB_0 equidista de A_1 e de B_1. Em particular, OB_1=OA_1 e B_0\hat OB_1=A_1\hat OB_0=30^\circ.

OB_1=OA_1=\frac{7\sqrt3}{2}\ \text{cm}

Isso também dá A_1\hat OB_1=30^\circ+30^\circ=60^\circ. Com OA_1=OB_1, o triângulo A_1OB_1 é isósceles com ângulo de 60^\circ no vértice, portanto equilátero, de lado \dfrac{7\sqrt3}{2}.

b) O argumento do item a) vale para qualquer triângulo equilátero A_{n-1}OB_{n-1} de lado s_{n-1}. O triângulo seguinte A_nOB_n é equilátero, com lado s_n=\dfrac{\sqrt3}{2}\,s_{n-1} (a altura do anterior). Então:

s_n=7\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n.

Como A_n é o ponto médio de \overline{A_{n-1}B_{n-1}}, que é um lado do triângulo anterior:

a_n=A_{n-1}A_n=\frac{s_{n-1}}{2}=\frac72\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}.

Assim, \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt3}{2} para todo n, constante. Logo (a_n) é uma PG com a_1=\dfrac72 e razão

q=\frac{\sqrt3}{2}.

c) O comprimento da poligonal é a_1+a_2+\dots+a_n, a soma dos n primeiros termos da PG:

S_n=a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}=\frac72\cdot\frac{1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n}{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{7\left[1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n\right]}{2-\sqrt3}.

Racionalizando com \dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3:

S_n=7\,(2+\sqrt3)\left[1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n\right]\ \text{cm}

Conferência com n=1: 7(2+\sqrt3)\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac72(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=\frac72=a_1 ✓.

Assuntos: progressão geométrica, geometria plana, simetria e triângulo equilátero.

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