Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento \overline{PR}, e o ângulo agudo formado por \overline{PR} e L mede 60^\circ. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo \theta com o segmento \overline{PR} e o mesmo ângulo agudo \alpha com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de \alpha e o seno de \theta.

Esquema da mesa de bilhar com o lado horizontal L e o ponto R. Uma reta tracejada parte de R inclinada a 60° com L, passando pelo ponto Q (bola branca) e seguindo até o ponto P (bola vermelha). A trajetória da bola branca sai de Q, fazendo um ângulo agudo θ com o segmento PR, incide sobre o lado L com ângulo α e reflete-se com o mesmo ângulo α em direção ao ponto P.

Answer 1

Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Matemática

Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento \overline{PR}, e o ângulo agudo formado por \overline{PR} e L mede 60^\circ. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo \theta com o segmento \overline{PR} e o mesmo ângulo agudo \alpha com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de \alpha e o seno de \theta.

Esquema da mesa de bilhar com o lado horizontal L e o ponto R. Uma reta tracejada parte de R inclinada a 60° com L, passando pelo ponto Q (bola branca) e seguindo até o ponto P (bola vermelha). A trajetória da bola branca sai de Q, fazendo um ângulo agudo θ com o segmento PR, incide sobre o lado L com ângulo α e reflete-se com o mesmo ângulo α em direção ao ponto P.

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Resolução comentada

a) Vamos usar a reflexão: o caminho Q → lado L → P tem o mesmo comprimento que o caminho de Q até P', onde P' é o simétrico de P em relação a L. Assim, a trajetória da bola branca antes da reflexão é um segmento da reta QP'.

Coloque R na origem e L sobre o eixo x. Tome RQ = 1, então RP = 2, pois Q é ponto médio de PR. Com a reta PR a 60^\circ de L:

Q=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right),\qquad P=(1,\sqrt3),\qquad P'=(1,-\sqrt3).

O coeficiente angular de QP' é

\frac{-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac12}=-3\sqrt3 .

Como \alpha é o ângulo agudo que essa reta faz com L, \tg\alpha = 3\sqrt3.

A reta QP' corta L em T=\left(\tfrac23,0\right), o ponto de reflexão.

\tg\alpha = 3\sqrt3

b) No triângulo RQT, o ângulo em R vale 60^\circ, o ângulo em T vale \alpha e o ângulo em Q vale \theta. Logo \theta = 120^\circ-\alpha e \sen\theta=\sen(60^\circ+\alpha).

De \tg\alpha = 3\sqrt3 temos \sec^2\alpha = 1+27 = 28. Então:

\cos\alpha=\frac{1}{2\sqrt7},\qquad \sen\alpha=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}.

Aplicando a fórmula do seno da soma:

\sen\theta=\sen60^\circ\cos\alpha+\cos60^\circ\sen\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt7}+\frac12\cdot\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{4\sqrt3}{4\sqrt7}=\sqrt{\frac37}.

Conferência pelas coordenadas: \overrightarrow{QR}=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}) e \overrightarrow{QT}=(\tfrac16,-\tfrac{\sqrt3}{2}), com |QR|=1 e |QT|=\tfrac{\sqrt7}{3}. O produto vetorial vale \tfrac{\sqrt3}{3}, então \sen\theta=\dfrac{\sqrt3/3}{\sqrt7/3}=\sqrt{\tfrac37}, o mesmo resultado.

\sen\theta=\dfrac{\sqrt{21}}{7}

Assuntos: geometria analítica, trigonometria, reflexão.

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