Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1 + \alpha i, com \alpha > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x - 1) é 8, determine

a) o valor de \alpha;

b) o quociente de p(x) por (x + 1).

i é a unidade imaginária, i^2 = -1.

Answer 1

Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Matemática

Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1 + \alpha i, com \alpha > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x - 1) é 8, determine

a) o valor de \alpha;

b) o quociente de p(x) por (x + 1).

i é a unidade imaginária, i^2 = -1.

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Resolução comentada

a) Como a, b e c são reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados. Então 1-\alpha i também é raiz. As três raízes de p são -1, 1+\alpha i e 1-\alpha i, e o polinômio é mônico. Logo:

p(x)=(x+1)\,(x-1-\alpha i)(x-1+\alpha i)=(x+1)\left[(x-1)^2+\alpha^2\right]

O resto da divisão de p(x) por (x-1) é p(1) (teorema do resto), e esse valor é 8:

p(1)=(1+1)\left[0+\alpha^2\right]=2\alpha^2=8 \Rightarrow \alpha^2=4

Como \alpha>0, temos \alpha=2.

\alpha = 2

b) Como -1 é raiz, a divisão de p(x) por (x+1) é exata, e o quociente é o fator que sobrou na forma fatorada do item (a):

q(x)=(x-1)^2+\alpha^2=(x-1)^2+4=x^2-2x+5

Conferindo: (x+1)(x^2-2x+5)=x^3-x^2+3x+5. Nesse polinômio, p(1)=1-1+3+5=8, como pede o enunciado.

O quociente é x^2-2x+5.

Assuntos: polinômios, raízes complexas, teorema do resto.

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Questão M03 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2014