Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2014
Considere a circunferência \lambda de equação cartesiana x^2 + y^2 - 4y = 0 e a parábola \alpha de equação y = 4 - x^2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de \lambda com \alpha.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência \lambda e a parábola \alpha. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações x^2 + y^2 - 4y \le 0 e y \ge 4 - x^2.
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Resolução comentada
a) Os pontos da interseção satisfazem as duas equações. Da parábola, x^2 = 4 - y. Substituindo na circunferência:
- Para y = 1: x^2 = 3, logo x = \pm\sqrt{3}.
- Para y = 4: x^2 = 0, logo x = 0.
A interseção é \{(0,4),\ (\sqrt{3},1),\ (-\sqrt{3},1)\}.
Resposta: (0,4), (\sqrt3,1) e (-\sqrt3,1).
b) Completando quadrados, x^2 + (y-2)^2 = 4. A circunferência \lambda tem centro (0,2) e raio 2. Ela passa por (0,0), (0,4), (\pm 2, 2).
A parábola \alpha tem concavidade para baixo, vértice (0,4) e corta o eixo x em (\pm 2, 0). Ela toca \lambda em (0,4), onde as duas têm tangente horizontal, e corta \lambda em (\pm\sqrt3, 1).
A inequação x^2 + y^2 - 4y \le 0 é o disco (a circunferência e seu interior). A inequação y \ge 4 - x^2 é a região sobre a parábola e acima dela. O conjunto pedido é a interseção dessas duas regiões: os pontos do disco que estão sobre ou acima da parábola.
Para |x| \le \sqrt3, a parábola fica dentro do disco. A região é então a faixa entre a parábola (embaixo) e o arco superior da circunferência (em cima). Ela se fecha em (0,4) e vai até os pontos (\pm\sqrt3, 1).
Para \sqrt3 \le |x| \le 2, a parábola passa abaixo do disco. Assim, toda a fatia do disco nessa faixa satisfaz y \ge 4 - x^2. Essas duas partes laterais ficam entre o arco inferior e o arco superior de \lambda, junto aos pontos (\pm2, 2).
Resumindo: a região é o disco menos a parte dele que está abaixo da parábola. Essa parte excluída é a que contém o centro (0,2) e o ponto (0,0), delimitada pelo arco da parábola entre (-\sqrt3,1) e (\sqrt3,1) e pelo arco inferior de \lambda. Na figura, as bordas (arcos de \lambda e de \alpha) pertencem ao conjunto.
Resposta: região do disco x^2+(y-2)^2\le 4 situada sobre ou acima da parábola y=4-x^2, com a parábola tocando a circunferência em (0,4) e a cortando em (\pm\sqrt3,1).
Assuntos: interseção de circunferência e parábola, regiões do plano por inequações.
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