Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Um estudante construiu um microscópio ótico digital usando uma webcam, da qual ele removeu a lente original. Ele preparou um tubo adaptador e fixou uma lente convergente, de distância focal f = 50\text{ mm}, a uma distância d = 175\text{ mm} do sensor de imagem da webcam, como visto na figura abaixo.

Esquema em corte do microscópio, mostrando à esquerda o sensor, ligado por um tubo à lente convergente à direita. A distância horizontal entre o sensor e a lente está indicada pela letra d.

No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de 6 \times 6\text{ mm}^2, com 500 \times 500 pixels. Com estas informações, determine

a) as dimensões do espaço ocupado por cada pixel;

b) a distância L entre a lente e um objeto, para que este fique focalizado no sensor;

c) o diâmetro máximo D que uma pequena esfera pode ter, para que esteja integralmente dentro do campo visual do microscópio, quando focalizada.

Note e adote: Pixel é a menor componente de uma imagem digital. Para todos os cálculos, desconsidere a espessura da lente.

Answer 1

Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Física

Um estudante construiu um microscópio ótico digital usando uma webcam, da qual ele removeu a lente original. Ele preparou um tubo adaptador e fixou uma lente convergente, de distância focal f = 50\text{ mm}, a uma distância d = 175\text{ mm} do sensor de imagem da webcam, como visto na figura abaixo.

Esquema em corte do microscópio, mostrando à esquerda o sensor, ligado por um tubo à lente convergente à direita. A distância horizontal entre o sensor e a lente está indicada pela letra d.

No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de 6 \times 6\text{ mm}^2, com 500 \times 500 pixels. Com estas informações, determine

a) as dimensões do espaço ocupado por cada pixel;

b) a distância L entre a lente e um objeto, para que este fique focalizado no sensor;

c) o diâmetro máximo D que uma pequena esfera pode ter, para que esteja integralmente dentro do campo visual do microscópio, quando focalizada.

Note e adote: Pixel é a menor componente de uma imagem digital. Para todos os cálculos, desconsidere a espessura da lente.

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Resolução comentada

a) O sensor tem lado de 6\ \text{mm} dividido em 500 pixels em cada direção. Cada pixel ocupa um quadrado de lado:

\ell = \frac{6\ \text{mm}}{500} = 0{,}012\ \text{mm} = 12\ \mu\text{m}

Portanto, cada pixel ocupa 12\ \mu\text{m} \times 12\ \mu\text{m}.

Resposta: 12\ \mu\text{m} \times 12\ \mu\text{m} (0{,}012\ \text{mm} \times 0{,}012\ \text{mm}).

b) Para o objeto ficar focalizado, sua imagem deve se formar exatamente sobre o sensor. Logo, a distância imagem é p' = d = 175\ \text{mm}. Aplicando a equação de Gauss, com p = L:

\frac{1}{f} = \frac{1}{L} + \frac{1}{d} \Rightarrow \frac{1}{L} = \frac{1}{50} - \frac{1}{175} = \frac{7-2}{350} = \frac{5}{350} = \frac{1}{70}

Assim, L = 70\ \text{mm}. Como L > f, a imagem é real e invertida, o que é coerente com a formação sobre o sensor.

Resposta: L = 70\ \text{mm}.

c) A esfera está integralmente no campo visual quando sua imagem cabe no sensor, ou seja, quando a imagem tem no máximo 6\ \text{mm}. O aumento linear é:

A = \frac{p'}{p} = \frac{175}{70} = 2{,}5

Logo, a imagem é 2{,}5 vezes maior que o objeto:

D = \frac{6\ \text{mm}}{2{,}5} = 2{,}4\ \text{mm}

Resposta: D = 2{,}4\ \text{mm}.

Assuntos: lentes esféricas, equação de Gauss e aumento linear.

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Questão F06 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2014