Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0{,}2\text{ kg}, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10\text{ cm} de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4\text{ W} de potência mecânica. A figura ao lado ilustra o sistema. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine

Esquema mostrando duas esferas nas extremidades de uma haste horizontal cujo centro se liga ao eixo vertical de um motor, com trajetória circular tracejada em torno do eixo.

a) a energia cinética total E das esferas em t = 5\text{ s};

b) a velocidade angular \omega de cada esfera em t = 5\text{ s};

c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5\text{ s};

d) a aceleração angular média \alpha de cada esfera, entre t = 0 e t = 5\text{ s}.

Note e adote:
As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas. Não atuam forças dissipativas no sistema.

Answer 1

Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Física

Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0{,}2\text{ kg}, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10\text{ cm} de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4\text{ W} de potência mecânica. A figura ao lado ilustra o sistema. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine

Esquema mostrando duas esferas nas extremidades de uma haste horizontal cujo centro se liga ao eixo vertical de um motor, com trajetória circular tracejada em torno do eixo.

a) a energia cinética total E das esferas em t = 5\text{ s};

b) a velocidade angular \omega de cada esfera em t = 5\text{ s};

c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5\text{ s};

d) a aceleração angular média \alpha de cada esfera, entre t = 0 e t = 5\text{ s}.

Note e adote:
As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas. Não atuam forças dissipativas no sistema.

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Resolução comentada

a) Não há forças dissipativas e o sistema parte do repouso. Toda a energia fornecida pelo motor vira energia cinética das esferas. Com potência constante:

E = P\,\Delta t = 4 \cdot 5 = 20\ \text{J}

E = 20 J

b) O raio da trajetória é metade da haste: R = 5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}. A energia cinética total é a soma das duas esferas, então cada uma tem 10\ \text{J}:

\frac{m v^2}{2} = 10 \Rightarrow v^2 = \frac{2\cdot 10}{0{,}2} = 100 \Rightarrow v = 10\ \text{m/s}

A velocidade angular é:

\omega = \frac{v}{R} = \frac{10}{0{,}05} = 200\ \text{rad/s}

ω = 200 rad/s

c) A haste é a responsável pela força centrípeta sobre cada esfera. Como a força é horizontal e as massas giram em plano horizontal, a componente que a haste exerce no plano é a centrípeta:

F = \frac{m v^2}{R} = \frac{0{,}2 \cdot 100}{0{,}05} = 400\ \text{N}

Essa é a intensidade da força entre cada esfera e a haste, desprezando o peso, que é equilibrado pela haste na vertical e não altera o valor pedido.

F = 400 N

d) A aceleração angular média é a variação de \omega dividida pelo tempo. Como o sistema parte do repouso:

\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{200 - 0}{5} = 40\ \text{rad/s}^2

α = 40 rad/s²

Assuntos: energia cinética e potência, movimento circular, força centrípeta.

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Questão F05 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2014