Questão 11 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x,y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função

f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x + 4\ .

Gráfico no plano cartesiano com eixo horizontal x e eixo vertical y. Uma curva decrescente parte do ponto A, acima do eixo x, e chega ao ponto B sobre o eixo x. Uma linha vertical tracejada liga A à abscissa 1.

O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x = 1, e atinge o chão no ponto B, de ordenada y = 0, conforme figura ao lado. Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10\ \text{m/s}^2 como o valor da aceleração da gravidade,

a) encontre a abscissa do ponto B;

b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v;

c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;

d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que \sqrt{60}\ \text{m/s}.

Answer 1

Questão 11 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2014

2º dia · Física

Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x,y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função

f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x + 4\ .

Gráfico no plano cartesiano com eixo horizontal x e eixo vertical y. Uma curva decrescente parte do ponto A, acima do eixo x, e chega ao ponto B sobre o eixo x. Uma linha vertical tracejada liga A à abscissa 1.

O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x = 1, e atinge o chão no ponto B, de ordenada y = 0, conforme figura ao lado. Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10\ \text{m/s}^2 como o valor da aceleração da gravidade,

a) encontre a abscissa do ponto B;

b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v;

c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;

d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que \sqrt{60}\ \text{m/s}.

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Resolução comentada

a) O ponto B tem y=0, então \log_{1/2} x + 4 = 0, ou seja, \log_{1/2} x = -4.

Pela definição de logaritmo: x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16.

B fica em x = 16\ \text{m}.

16 m

b) A energia mecânica é a soma da energia cinética com a potencial gravitacional, tomando o chão (y=0) como referência:

E = \frac{M v^2}{2} + M g y = \frac{M v^2}{2} + 10\,M y

Como não há atrito, essa energia se conserva.

E = \dfrac{Mv^2}{2} + 10My (com g = 10\ \text{m/s}^2)

c) Em A, x=1, então y_A = \log_{1/2}1 + 4 = 4\ \text{m}, e o corpo está em repouso (v=0). Logo E_A = 10\,M\cdot 4 = 40M.

Pela conservação da energia, em um ponto de abscissa x:

\frac{Mv^2}{2} + 10My = 40M \Rightarrow v^2 = 2(40 - 10y) = 20(4-y)

Como y = \log_{1/2}x + 4, temos 4 - y = -\log_{1/2}x = \log_2 x. Assim:

v^2 = 20\log_2 x \Rightarrow v(x) = \sqrt{20\log_2 x}\ \text{m/s},\quad 1\le x\le 16

v(x)=\sqrt{20\,\log_2 x} m/s

d) Queremos v > \sqrt{60}, isto é, 20\log_2 x > 60, logo \log_2 x > 3.

Como a base 2 é maior que 1, isso dá x > 2^3 = 8.

O corpo passa a ter v>\sqrt{60}\ \text{m/s} a partir de x = 8\ \text{m} (até chegar a B, em x=16).

x = 8\ \text{m}

Assuntos: logaritmo, conservação da energia mecânica.

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