Questão 12 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2014

2º dia · Matemática

Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.

a) Quantas unidades da Federação tem cada região?

b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.

c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P < 1/50.

Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores.
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Resolução comentada

a) Para o enunciado fazer sentido, usamos a divisão do Brasil em 5 regiões, num total de 27 unidades da Federação (26 estados e o DF). Como os dados da figura não aparecem aqui, tomei a divisão oficial do IBGE:

  • Norte: 7
  • Nordeste: 9
  • Centro-Oeste: 4 (3 estados e o DF)
  • Sudeste: 4
  • Sul: 3

As duas regiões mais populosas são o Sudeste e o Nordeste.

Norte 7, Nordeste 9, Centro-Oeste 4, Sudeste 4, Sul 3.

b) Cada unidade da Federação tem 3 senadores e não pode ter dois membros na comissão. Por isso, escolhemos primeiro as unidades e depois 1 dos 3 senadores de cada uma.

  1. Sudeste (2 membros): \binom{4}{2}\cdot 3^2 = 6\cdot 9 = 54.
  2. Nordeste (2 membros): \binom{9}{2}\cdot 3^2 = 36\cdot 9 = 324.
  3. Norte (1 membro): 7\cdot 3 = 21.
  4. Centro-Oeste (1 membro): 4\cdot 3 = 12.
  5. Sul (1 membro): 3\cdot 3 = 9.

Pelo princípio multiplicativo:

N = 54\cdot 324\cdot 21\cdot 12\cdot 9.

Fatorando cada termo: 54=2\cdot3^3, 324=2^2\cdot3^4, 21=3\cdot7, 12=2^2\cdot3 e 9=3^2.

O expoente do 2 é 1+2+2=5. O expoente do 3 é 3+4+1+1+2=11. O 7 aparece uma vez.

N = 2^5\cdot 3^{11}\cdot 7 = 39\,680\,928.

N = 54·324·21·12·9 = 2⁵·3¹¹·7.

c) O Senado tem 27\cdot3=81 senadores. Escolhendo 7 ao acaso, o total de comissões possíveis é \binom{81}{7}, e portanto

P=\frac{N}{\binom{81}{7}}.

Calculando:

\binom{81}{7}=\frac{81\cdot80\cdot79\cdot78\cdot77\cdot76\cdot75}{5040}=3\,477\,216\,600.

Queremos verificar que P<\frac1{50}, ou seja, 50N<\binom{81}{7}. Temos 50N = 1\,984\,046\,400, que é menor que 3\,477\,216\,600.

Logo P\approx 0{,}0114<0{,}02=\frac1{50}.

P=\dfrac{39\,680\,928}{3\,477\,216\,600}\approx0{,}0114<\dfrac1{50}.

Assuntos: análise combinatória, probabilidade, fatoração em primos.

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