Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2013
No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
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Resolução comentada
a) O triângulo ABD tem ângulo reto em A, pois a base ABCD é um retângulo. Os catetos são AB = 2 e AD = 3:
Resposta: 3.
b) O tetraedro ABDE tem base ABD, com área 3. A altura relativa a essa base é AE = 4, porque a aresta AE é perpendicular ao plano da base. Então:
Resposta: 4.
c) Os lados do triângulo BDE saem do teorema de Pitágoras:
- BD = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}
- BE = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}
- DE = \sqrt{3^2+4^2} = 5
Para a área, uso o fato de que A é o vértice de um triedro com três ângulos retos. Nesse caso, o quadrado da área da face oposta é a soma dos quadrados das áreas das outras três faces:
As áreas usadas são S_{ABE} = \frac{2\cdot 4}{2} = 4 e S_{ADE} = \frac{3\cdot 4}{2} = 6.
Portanto S_{BDE} = \sqrt{61}.
Resposta: \sqrt{61}.
d) O ponto do triângulo mais próximo de A é o pé da perpendicular traçada de A ao plano BDE. Logo AQ é a altura do tetraedro ABDE relativa à face BDE.
O volume do tetraedro não depende da face escolhida como base. Usando a base BDE:
Conferindo com coordenadas, com A na origem e B=(2,0,0), D=(0,3,0), E=(0,0,4): o plano é 6x+4y+3z=12, e a distância de A a ele é \frac{12}{\sqrt{36+16+9}} = \frac{12}{\sqrt{61}}. O pé da perpendicular tem coordenadas positivas e fica dentro do triângulo, então Q de fato pertence a ele.
Resposta: AQ = \dfrac{12\sqrt{61}}{61}.
Assuntos: geometria espacial, tetraedro, distância de ponto a plano.
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