Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Matemática

Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas:

  1. o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;
  2. algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.

a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

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Resolução comentada

a) Xantipa tirou 5 e 5, então o maior e o menor valor dela são 5.

Condição 1: o maior dado de Sócrates precisa ser maior que 5, ou seja, precisa sair pelo menos um 6.

Condição 2: outro dado de Sócrates precisa ser maior que 5, ou seja, outro 6.

Logo, Sócrates precisa de pelo menos dois 6 nos três dados.

  • Exatamente dois 6: 3\cdot\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56=\frac{15}{216}.
  • Três 6: \left(\frac16\right)^3=\frac1{216}.
P=\frac{15}{216}+\frac{1}{216}=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}

Resposta: \dfrac{2}{27}.

b) Agora o maior valor de Xantipa é 5 e o menor é 4.

Condição 1: precisa sair pelo menos um 6 nos dados de Sócrates.

Condição 2: outro dado, diferente do que deu o maior valor, precisa ser maior que 4, isto é, 5 ou 6.

Portanto, é preciso pelo menos um 6 e pelo menos dois dados em \{5,6\}. Contando os resultados favoráveis entre os 6^3=216 possíveis:

  1. Os três dados em \{5,6\}, com pelo menos um 6: 2^3-1=7 resultados (só fica de fora o caso 5,5,5).
  2. Exatamente dois dados em \{5,6\} e o terceiro em \{1,2,3,4\}. Há 3 escolhas para o dado que fica de fora, 3 combinações de 5 e 6 nos outros dois com pelo menos um 6 (66, 65, 56) e 4 valores para o dado restante: 3\cdot3\cdot4=36.

Total: 7+36=43 resultados favoráveis.

P=\frac{43}{216}

Resposta: \dfrac{43}{216}.

Assuntos: probabilidade, análise combinatória.

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