Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Matemática

Considere o polinômio p(x) = x^4 + 1.

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).

b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Queremos x^4=-1. Escrevemos -1 na forma polar: -1=\cos\pi+i\,\sen\pi. As quatro raízes quartas são

x_k=\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)+i\,\sen\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right),\quad k=0,1,2,3.

Os ângulos são \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}. Em todos eles, seno e cosseno valem \pm\frac{\sqrt2}{2}. Então as raízes são

\frac{\sqrt2}{2}(1+i),\quad \frac{\sqrt2}{2}(-1+i),\quad \frac{\sqrt2}{2}(-1-i),\quad \frac{\sqrt2}{2}(1-i).

Conferência: \left[\frac{\sqrt2}{2}(1+i)\right]^2=\frac{1}{2}(2i)=i, e i^2=-1. ✓

Raízes: x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\pm i\,\frac{\sqrt2}{2} (as quatro combinações de sinais).

b) Como p tem coeficientes reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados. Multiplicar x-z por x-\bar z dá um polinômio real de grau 2: x^2-2\,\text{Re}(z)\,x+|z|^2. Aqui |z|=1.

  1. Para o par \frac{\sqrt2}{2}(1\pm i): \text{Re}(z)=\frac{\sqrt2}{2}, logo o fator é x^2-\sqrt2\,x+1.
  2. Para o par \frac{\sqrt2}{2}(-1\pm i): \text{Re}(z)=-\frac{\sqrt2}{2}, logo o fator é x^2+\sqrt2\,x+1.

Verificação:

(x^2+1-\sqrt2x)(x^2+1+\sqrt2x)=(x^2+1)^2-2x^2=x^4+1.
✓

p(x)=(x^2-\sqrt2\,x+1)(x^2+\sqrt2\,x+1)

Assuntos: raízes complexas, fatoração de polinômios, números complexos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão M06 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2013