Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2013

Question

Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P_1 e P_2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço \overline{OP_1} tem comprimento 6 e o braço \overline{P_1P_2} tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P_2 é 2, P_2 está a uma altura menor do que P_1 e a distância de O a P_2 é 2\sqrt{10}. Sendo Q o pé da perpendicular de P_2 ao plano do chão, determine

Esquema de um guindaste em um plano vertical: o braço OP₁ sobe para a direita a partir do ponto O, situado sobre uma linha horizontal hachurada que representa o chão, até a articulação P₁. O braço P₁P₂ desce para a direita até a extremidade P₂, acima do chão. Um segmento vertical tracejado liga P₂ ao ponto Q no chão, à direita de O.

a) o seno e o cosseno do ângulo P_2\widehat{O}Q entre a reta \overleftrightarrow{OP_2} e o plano do chão;

b) a medida do ângulo O\widehat{P}_1P_2 entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo P_1\widehat{O}Q entre o braço \overline{OP_1} e o plano do chão.

Answer 1

Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Matemática

Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P_1 e P_2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço \overline{OP_1} tem comprimento 6 e o braço \overline{P_1P_2} tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P_2 é 2, P_2 está a uma altura menor do que P_1 e a distância de O a P_2 é 2\sqrt{10}. Sendo Q o pé da perpendicular de P_2 ao plano do chão, determine

Esquema de um guindaste em um plano vertical: o braço OP₁ sobe para a direita a partir do ponto O, situado sobre uma linha horizontal hachurada que representa o chão, até a articulação P₁. O braço P₁P₂ desce para a direita até a extremidade P₂, acima do chão. Um segmento vertical tracejado liga P₂ ao ponto Q no chão, à direita de O.

a) o seno e o cosseno do ângulo P_2\widehat{O}Q entre a reta \overleftrightarrow{OP_2} e o plano do chão;

b) a medida do ângulo O\widehat{P}_1P_2 entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo P_1\widehat{O}Q entre o braço \overline{OP_1} e o plano do chão.

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Resolução comentada

a) Coloque O na origem e o chão sobre o eixo horizontal. Então P_2=(x,2), com x=OQ. No triângulo retângulo OQP_2, o cateto vertical vale 2 e a hipotenusa vale 2\sqrt{10}.

Por Pitágoras: x^2+2^2=(2\sqrt{10})^2, ou seja, x^2=36 e x=6.

Sendo \beta=P_2\widehat{O}Q:

\sen\beta=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\beta=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.

\sen\beta=\dfrac{\sqrt{10}}{10} e \cos\beta=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}

b) O triângulo OP_1P_2 tem lados OP_1=6, P_1P_2=2 e OP_2=2\sqrt{10}. Pela lei dos cossenos, com \theta=O\widehat{P}_1P_2:

(2\sqrt{10})^2=6^2+2^2-2\cdot 6\cdot 2\cos\theta

40=40-24\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=0.

Logo o triângulo é retângulo em P_1 (de fato, 6^2+2^2=40).

\theta=90^\circ

c) Seja \alpha=P_1\widehat{O}P_2. Como o triângulo é retângulo em P_1:

\sen\alpha=\frac{P_1P_2}{OP_2}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad \cos\alpha=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.

Como P_1 está mais alto que P_2, a reta OP_1 fica acima de OP_2. Então P_1\widehat{O}Q=\alpha+\beta, e \alpha e \beta têm o mesmo seno e o mesmo cosseno.

\sen(\alpha+\beta)=2\,\sen\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{6}{10}=\frac35.

Verificação: a altura de P_1 é 6\cdot\frac35=3{,}6>2, o que é coerente com o enunciado.

\sen(P_1\widehat{O}Q)=\dfrac35

Assuntos: trigonometria no triângulo retângulo, lei dos cossenos, seno da soma.

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