Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2013

Question

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A', B', C' e D', de modo que os novos segmentos sejam, então, \overline{AA'}, \overline{BB'}, \overline{CC'} e \overline{DD'}. Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do

Paralelogramo ABCD, com A no vértice inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. Os lados são prolongados por segmentos tracejados: DA além de A até A', AB além de B até B', BC além de C até C' e CD além de D até D'.

a) paralelogramo ABCD;

b) triângulo BB'C';

c) quadrilátero A'B'C'D'.

Answer 1

Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Matemática

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A', B', C' e D', de modo que os novos segmentos sejam, então, \overline{AA'}, \overline{BB'}, \overline{CC'} e \overline{DD'}. Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do

Paralelogramo ABCD, com A no vértice inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. Os lados são prolongados por segmentos tracejados: DA além de A até A', AB além de B até B', BC além de C até C' e CD além de D até D'.

a) paralelogramo ABCD;

b) triângulo BB'C';

c) quadrilátero A'B'C'D'.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) A área do paralelogramo é a base vezes a altura. Tomando AB=4 como base, a altura é a distância de D à reta AB, que vale 3:

S_{ABCD}=4\cdot 3=12

12

b) No triângulo BB'C', tome BB' como base. Como BB'=AB=4 e B' está na reta AB, a base fica sobre essa reta.

O ponto C' é tal que C é o ponto médio de BC', pois CC'=BC e C' está no prolongamento de BC. Como B está na reta AB, a distância de C' a essa reta é o dobro da distância de C, ou seja, 2\cdot 3=6.

S_{BB'C'}=\frac{4\cdot 6}{2}=12

12

c) O quadrilátero A'B'C'D' é formado pelo paralelogramo ABCD e por quatro triângulos: BB'C', CC'D', DD'A' e AA'B'.

Os quatro triângulos têm a mesma área. Cada um tem dois lados que são o dobro de lados consecutivos do paralelogramo, a partir do mesmo vértice, e o ângulo entre eles é o mesmo ou suplementar ao do paralelogramo. Assim, cada um tem área \frac12\cdot 2a\cdot 2b\cdot\sen\theta com \theta o ângulo do paralelogramo, e essa área vale 2ab\,\sen\theta menos ... o que se confirma pelo item b: S=12.

Conferência com o triângulo CC'D': D' é simétrico de C em relação a D, então CD'=2\cdot CD=8, horizontal. A distância de C' à reta CD é o dobro da distância de B a essa reta, ou seja, 6-3=3 de altura acima de C. Logo a área é \frac{8\cdot 3}{2}=12.

S_{A'B'C'D'}=12+4\cdot 12=60

60

Assuntos: área de paralelogramo, área de triângulos, geometria plana.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão M02 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2013