Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Física

Um DJ, ao preparar seu equipamento, esquece uma caixa de fósforos sobre o disco de vinil, em um toca-discos desligado. A caixa se encontra a 10\text{ cm} do centro do disco. Quando o toca-discos é ligado, no instante t = 0, ele passa a girar com aceleração angular constante \alpha = 1{,}1\text{ rad/s}^2, até que o disco atinja a frequência final f = 33\text{ rpm} que permanece constante. O coeficiente de atrito estático entre a caixa de fósforos e o disco é \mu_e = 0{,}09. Determine

a) a velocidade angular final do disco, \omega_f, em \text{rad/s};

b) o instante t_f em que o disco atinge a velocidade angular \omega_f;

c) a velocidade angular \omega_c do disco no instante t_c em que a caixa de fósforos passa a se deslocar em relação ao mesmo;

d) o ângulo total \Delta\theta percorrido pela caixa de fósforos desde o instante t = 0 até o instante t = t_c.

Note e adote:
Aceleração da gravidade local g = 10\text{ m/s}^2.
\pi = 3

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Resolução comentada

a) A frequência é f = 33\ \text{rpm} = \dfrac{33}{60}\ \text{Hz} = 0{,}55\ \text{Hz}.

A velocidade angular final é

\omega_f = 2\pi f = 2\cdot 3\cdot 0{,}55 = 3{,}3\ \text{rad/s}

\omega_f = 3{,}3\ \text{rad/s}

b) A aceleração angular é constante e o disco parte do repouso, então \omega = \alpha t:

t_f = \frac{\omega_f}{\alpha} = \frac{3{,}3}{1{,}1} = 3\ \text{s}

t_f = 3\ \text{s}

c) Enquanto a caixa acompanha o disco, a força de atrito estático é a única força horizontal sobre ela. Essa força tem duas componentes:

  • a tangencial, m\alpha R, que acelera a caixa ao longo da trajetória;
  • a centrípeta, m\omega^2 R, que mantém o movimento circular.

As duas componentes são perpendiculares, então o módulo da força de atrito é

F_{at} = mR\sqrt{\alpha^2+\omega^4}

A caixa começa a deslizar quando F_{at} atinge o máximo, \mu_e m g:

R\sqrt{\alpha^2+\omega_c^4} = \mu_e g \Rightarrow \sqrt{\alpha^2+\omega_c^4} = \frac{0{,}09\cdot 10}{0{,}1} = 9\ \text{rad/s}^2

Elevando ao quadrado:

\omega_c^4 = 81 - 1{,}21 = 79{,}79 \Rightarrow \omega_c^2 \approx 8{,}93 \Rightarrow \omega_c \approx 3{,}0\ \text{rad/s}

Como \omega_c < \omega_f, a caixa escorrega ainda durante a aceleração, em t_c \approx 2{,}7\ \text{s}.

\omega_c \approx 3\ \text{rad/s}

d) Até t_c o movimento é uniformemente acelerado a partir do repouso. Por Torricelli:

\omega_c^2 = 2\alpha\,\Delta\theta \Rightarrow \Delta\theta = \frac{8{,}93}{2\cdot 1{,}1} \approx 4{,}1\ \text{rad}

Isso corresponde a cerca de 0{,}65 volta.

\Delta\theta \approx 4\ \text{rad}

Assuntos: movimento circular uniformemente variado, atrito estático, dinâmica do movimento circular.

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