Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2013
O telêmetro de superposição é um instrumento ótico, de concepção simples, que no passado foi muito utilizado em câmeras fotográficas e em aparelhos de medição de distâncias. Uma representação esquemática de um desses instrumentos está na página de respostas. O espelho semitransparente \text{E}_1 está posicionado a 45^\circ em relação à linha de visão, horizontal, AB. O espelho \text{E}_2 pode ser girado, com precisão, em torno de um eixo perpendicular à figura, passando por C, variando-se assim o ângulo \beta entre o plano de \text{E}_2 e a linha horizontal. Deseja-se determinar a distância AB do objeto que está no ponto B ao instrumento.
a) Desenhe na figura da página de respostas, com linhas cheias, os raios de luz que, partindo do objeto que está em B, atingem o olho do observador - um atravessa o espelho \text{E}_1 e o outro é refletido por \text{E}_2 no ponto C. Suponha que ambos cheguem ao olho do observador paralelos e superpostos.
b) Desenhe, com linhas tracejadas, o trajeto aproximado de um raio de luz que parte do objeto em B', incide em C e é refletido por \text{E}_2.
Com o objeto em um ponto B específico, o ângulo \beta foi ajustado em 44^\circ, para que os raios cheguem ao olho do observador paralelos e superpostos. Nessa condição,
c) determine o valor do ângulo \gamma entre as linhas AB e BC;
d) com \text{AC} = 10\text{ cm}, determine o valor de AB.
Note e adote:
\text{sen}(22^\circ) = 0{,}37; \cos(22^\circ) = 0{,}93
\text{sen}(44^\circ) = 0{,}70; \cos(44^\circ) = 0{,}72
\text{sen}(88^\circ) = 0{,}99; \cos(88^\circ) = 0{,}03
As direções AB e AC são perpendiculares entre si.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Pela geometria do instrumento, o ponto C fica logo abaixo de A, de modo que AC é perpendicular a AB. Há dois raios saindo de B:
- O primeiro segue pela horizontal, de B até A, atravessa o espelho semitransparente \text{E}_1 e vai direto ao olho do observador, que está sobre a linha AB.
- O segundo vai de B até C, reflete em \text{E}_2 e sobe na vertical, de C até A. Em A ele é refletido por \text{E}_1, que está a 45^\circ, e fica horizontal, indo ao olho.
O raio reflexo em \text{E}_1 sai horizontal, como o raio direto. Por isso os dois chegam paralelos e superpostos. Na figura, desenhe em linha cheia os trechos B→A→olho e B→C→A→olho.
b) Com \text{E}_2 na mesma posição, um raio vindo de B' incide em C com ângulo de incidência diferente do raio vindo de B. Pela lei da reflexão, o raio refletido sai simétrico em relação à normal de \text{E}_2 em C, sem ser vertical. Em linha tracejada, desenhe B'→C e, a partir de C, o raio refletido inclinado em relação a CA. Ele não chega a A com a direção correta e não se superpõe ao raio direto. Por isso é preciso girar \text{E}_2 para cada distância.
c) Sejam \gamma o ângulo entre AB e BC e \beta o ângulo de \text{E}_2 com a horizontal.
Como AC é perpendicular a AB e os dois raios que saem de B são paralelos às retas AB e BC, o raio CB faz com a horizontal o mesmo ângulo \gamma (ângulos alternos internos). O raio refletido CA é vertical e faz 90^\circ com a horizontal.
Na reflexão, a normal ao espelho é a bissetriz do ângulo entre CB e CA, que mede 90^\circ-\gamma. A normal fica então a \gamma+\dfrac{90^\circ-\gamma}{2}=45^\circ+\dfrac{\gamma}{2} da horizontal. O espelho é perpendicular à normal, logo:
Com \beta=44^\circ:
\gamma = 2^\circ
d) No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em A, o ângulo em B vale \gamma e o cateto oposto a \gamma é AC. Então:
Como \tg\,2^\circ=\dfrac{\sen 2^\circ}{\cos 2^\circ}=\dfrac{\cos 88^\circ}{\sen 88^\circ}=\dfrac{0{,}03}{0{,}99}:
\text{AB}=330\ \text{cm}=3{,}3\ \text{m}
Assuntos: óptica geométrica, reflexão em espelhos planos, trigonometria no triângulo retângulo.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
