Questão F01 da 2ª fase da FUVEST 2013

3º dia · Física

Uma das hipóteses para explicar a extinção dos dinossauros, ocorrida há cerca de 60 milhões de anos, foi a colisão de um grande meteoro com a Terra. Estimativas indicam que o meteoro tinha massa igual a 10^{16}\ \text{kg} e velocidade de 30\ \text{km/s}, imediatamente antes da colisão. Supondo que esse meteoro estivesse se aproximando da Terra, numa direção radial em relação à orbita desse planeta em torno do Sol, para uma colisão frontal, determine

a) a quantidade de movimento P_i do meteoro imediatamente antes da colisão;

b) a energia cinética E_c do meteoro imediatamente antes da colisão;

c) a componente radial da velocidade da Terra, V_r, pouco depois da colisão;

d) a energia E_d, em megatons, dissipada na colisão.

Note e adote:
A órbita da Terra é circular.
Massa da Terra: 6 \times 10^{24}\ \text{kg}.
1 megaton = 4 \times 10^{15}\ \text{J} é a energia liberada pela explosão de um milhão de toneladas de trinitrotolueno.

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Resolução comentada

a) A quantidade de movimento é P = mv. Convertendo, v = 30\ \text{km/s} = 3\times 10^{4}\ \text{m/s}.

P_i = 10^{16}\cdot 3\times 10^{4} = 3\times 10^{20}\ \text{kg·m/s}

P_i = 3\times 10^{20}\ \text{kg·m/s}

b) A energia cinética do meteoro é E_c = \frac{1}{2}mv^2.

E_c = \frac{1}{2}\cdot 10^{16}\cdot (3\times 10^{4})^2 = \frac{1}{2}\cdot 10^{16}\cdot 9\times 10^{8} = 4{,}5\times 10^{24}\ \text{J}

E_c = 4{,}5\times 10^{24}\ \text{J}

c) Como a órbita da Terra é circular, a velocidade orbital é sempre tangente à trajetória. Por isso, antes da colisão a Terra tem velocidade radial nula. O meteoro vem na direção radial, então, nessa direção, só ele tem quantidade de movimento.

A colisão é frontal e o meteoro fica incorporado à Terra. Na direção radial o sistema pode ser tratado como isolado, e a quantidade de movimento se conserva:

P_i = (M + m)\,V_r \;\Rightarrow\; V_r = \frac{3\times 10^{20}}{6\times 10^{24} + 10^{16}} \approx \frac{3\times 10^{20}}{6\times 10^{24}}
V_r \approx 5\times 10^{-5}\ \text{m/s}

V_r \approx 5\times 10^{-5}\ \text{m/s}

d) A energia dissipada é a diferença entre a energia cinética radial antes e depois da colisão. Antes, só o meteoro contribui, com 4{,}5\times 10^{24}\ \text{J}. Depois:

E_f = \frac{1}{2}(M+m)V_r^2 \approx \frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{24}\cdot (5\times 10^{-5})^2 = 7{,}5\times 10^{15}\ \text{J}

Esse valor é desprezível frente a 4{,}5\times 10^{24}\ \text{J}. Logo, E_d \approx 4{,}5\times 10^{24}\ \text{J}.

Convertendo para megatons:

E_d = \frac{4{,}5\times 10^{24}}{4\times 10^{15}} \approx 1{,}1\times 10^{9}\ \text{megatons}

E_d \approx 1{,}1\times 10^{9} megatons

Assuntos: quantidade de movimento, colisões inelásticas, energia cinética.

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