Questão 15 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2013

Question

Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500\ m, a altitude do pico B é de 800\ m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900\ m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

Dois morros com picos A e B conectados por uma linha reta representando o cabo do teleférico. A altitude de A é indicada como 500 m e a de B como 800 m a partir de uma base comum. A distância horizontal entre as verticais passando por A e B é de 900 m. O teleférico T está no cabo, a uma distância horizontal x e vertical y a partir de A.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20\ m?

b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1{,}5\ m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B?

Answer 1

Questão 15 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2013

2º dia · Matemática

Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500\ m, a altitude do pico B é de 800\ m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900\ m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

Dois morros com picos A e B conectados por uma linha reta representando o cabo do teleférico. A altitude de A é indicada como 500 m e a de B como 800 m a partir de uma base comum. A distância horizontal entre as verticais passando por A e B é de 900 m. O teleférico T está no cabo, a uma distância horizontal x e vertical y a partir de A.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20\ m?

b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1{,}5\ m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B?

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Resolução comentada

a) O cabo é uma reta de A até B. O desnível total é 800-500=300\ \text{m} e o deslocamento horizontal total é 900\ \text{m}. Os triângulos formados por T e por B com A são semelhantes, então:

\frac{y}{x}=\frac{300}{900}=\frac{1}{3}\ \Rightarrow\ x=3y

Para y=20\ \text{m}:

x=3\cdot 20=60\ \text{m}

O deslocamento horizontal é de 60 m.

b) A distância percorrida é o comprimento do cabo, a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 900\ \text{m} e 300\ \text{m}:

d=\sqrt{900^2+300^2}=300\sqrt{3^2+1}=300\sqrt{10}\ \text{m}

Com velocidade constante de 1{,}5\ \text{m/s}:

t=\frac{d}{v}=\frac{300\sqrt{10}}{1{,}5}=200\sqrt{10}\ \text{s}

Como \sqrt{10}\approx 3{,}16, temos t\approx 632\ \text{s}, ou seja, cerca de 10{,}5 minutos.

O tempo gasto é 200\sqrt{10}\ \text{s}\approx 632\ \text{s} (cerca de 10,5 min).

Assuntos: semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, velocidade constante.

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