Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2012
Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade
|x^2 - 10x + 21| \le |3x - 15|.
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Resolução comentada
a) Como os dois lados são não negativos, vale |A|\le|B| \iff A^2\le B^2. Elevando ao quadrado:
(x^2-10x+21)^2-(3x-15)^2\le 0.
Usando a diferença de quadrados:
\big[(x^2-10x+21)-(3x-15)\big]\cdot\big[(x^2-10x+21)+(3x-15)\big]\le 0
(x^2-13x+36)(x^2-7x+6)\le 0.
Fatorando cada trinômio:
- x^2-13x+36=(x-4)(x-9)
- x^2-7x+6=(x-1)(x-6)
A desigualdade fica (x-1)(x-4)(x-6)(x-9)\le 0, com raízes 1,\,4,\,6,\,9.
O produto tem grau 4 e coeficiente líder positivo. Logo ele é positivo para x>9 e os sinais se alternam a cada raiz:
- x<1: positivo
- 1<x<4: negativo
- 4<x<6: positivo
- 6<x<9: negativo
- x>9: positivo
Queremos o produto \le 0, então entram os intervalos negativos e as raízes (a igualdade é permitida).
Conferência: em x=1, 12\le12; em x=4, 3\le3; em x=6, 3\le3; em x=9, 12\le12. Em x=5, 4\le 0 é falso, como esperado.
1\le x\le 4 ou 6\le x\le 9, isto é, x\in[1,4]\cup[6,9].
Assuntos: inequação modular, inequação produto, fatoração.
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